Bài 8 trang 58

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau, biết số hạng tổng quát:

Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số $(u_{n})$ sau, biết số hạng tổng quát:

a) $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$

b) $u_{n} = \frac{2}{5^{n}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng khái niệm, định nghĩa tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số.

Lời giải chi tiết

a) $u_{n} = \frac{n}{n + 1}$

Xét hiệu

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1}$

$= \frac{n^{2} + 2 n + 1 - n^{2}}{n^{2} + 3 n + 2} = \frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 3 n + 2} > 0$

Do đó $u_{n} + 1 > u_{n} (1)$

Ta có: $u_{n} = \frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$

Vì $0 < \frac{1}{n + 1} \leq \frac{1}{2}$ với mọi $n \in N^{*}$ nên $- \frac{1}{2} \leq - \frac{1}{n + 1} < 0$ với mọi $n \in N^{*}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{n + 1} < 1$ với mọi $n \in N^{*}$

hay $\frac{1}{2} \leq u_{n} < 1$ với mọi $n \in N^{*} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $u_{n}$ là dãy số tăng và bị chặn.

b) $u_{n} = \frac{2}{5^{n}}$

Xét hiệu

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2}{5^{n + 1}} - \frac{2}{5^{n}}$

$= \frac{2 - 2 \cdot 5}{5^{n + 1}} = \frac{2 - 10}{5^{n + 1}} = - \frac{8}{5^{n + 1}} < 0$

Do đó $u_{n} + 1 < u_{n} (3)$

Vì $0 < \frac{2}{5^{n}} \leq \frac{2}{5}$ với mọi $n \in N^{*} (4)$

Từ (3) và (4) suy ra $u_{n}$ là dãy số giảm và bị chặn.