Bài 9.10 trang 94

Cho hàm số (fleft( x right) = 2{sin ^2}left( {3x - frac{pi }{4}} right).)

Đề bài

Cho hàm số $f (x) = 2 \sin^{2} (3 x - \frac{π}{4})$ . Chứng minh rằng $| f^{'} (x) | \leq 6$ với mọi x.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ ; ${(\sin u)}^{'} = u^{'} . \cos u$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $f^{'} (x) = 4 \sin (3 x - \frac{π}{4}) . {[\sin (3 x - \frac{π}{4})]}^{'}$

$= 4 \sin (3 x - \frac{π}{4}) {(3 x - \frac{π}{4})}^{'} \cos (3 x - \frac{π}{4})$

$= 12 \cos (3 x - \frac{π}{4}) \sin (3 x - \frac{π}{4})$

$= 6 \sin (6 x - \frac{π}{2})$ .

Vì $- 1 \leq \sin (6 x - \frac{π}{2}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 6 \leq 6 \sin (6 x - \frac{π}{2}) \leq 6$

$\Leftrightarrow - 6 \leq f^{'} (x) \leq 6$ .

Vậy $| f^{'} (x) | \leq 6$ với mọi x.