Bài 9.16 trang 96

Cho hàm số (fleft( x right) = 2{sin ^2}left( {x + frac{pi }{4}} right).)

Đề bài

Cho hàm số $f (x) = 2 \sin^{2} (x + \frac{π}{4}) .$ Chứng minh rằng $| f^{″} (x) | \leq 4$ với mọi x.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Giả sử hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in (a; b) .$ Nếu hàm số $y^{'} = f^{'} (x)$ lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của $y^{'}$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f (x)$ tại x, kí hiệu là $y^{″}$ hoặc $f^{″} (x) .$

Lời giải chi tiết

Ta có $f^{'} (x) = 2.2 \sin (x + \frac{π}{4}) . {[\sin (x + \frac{π}{4})]}^{,} = 4 \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4}) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{2})$

$\Rightarrow f^{″} (x) = 2.2 \cos (2 x + \frac{π}{2}) = 4 \cos (2 x + \frac{π}{2})$

Mặt khác $- 1 \leq \cos (2 x + \frac{π}{2}) \leq 1 \Leftrightarrow - 4 \leq f^{″} (x) \leq 4$

Vậy $| f^{″} (x) | \leq 4$ với mọi x.