Bài 9.2 trang 86

Đề bài

Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=k{x}^2+c$ (với k, c là các hằng số);                      

b) $y=x^3.$

Lời giải chi tiết

a) Với $x_0$ bất kì, ta có:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{k{x}^2+c-\left(k{x}_0^2+c\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{k\left(x^2-x_0^2\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{k\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\left[k\left(x+x_0\right)\right]=2k{x}_0$

Vậy hàm số $y=k{x}^2+c$ có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=2kx$

b) Với $x_0$ bất kì, ta có:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x{x}_0+x_0^2\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\left(x^2+x{x}_0+x_0^2\right)=3x_0^2$

Vậy hàm số $y=x^3$ có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=3x^2$