Bài 9.3 trang 86

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y=-x^2+4x,$ biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ $x_0=1$;

b) Tiếp điểm có tung độ $y_0=0$.

Lời giải chi tiết

Với $x_0$ bất kì, ta có:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{-x^2+4x+x_0^2-4x_0}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{-\left(x^2-x_0^2\right)+4\left(x-x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\left(x-x_0\right)\left(-x-x_0+4\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\left(-x-x_0+4\right)$

$=-2x_0+4$.

Vậy hàm số $y=-x^2+4x$ có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=-2x+4$.

a) Ta có:

$f^{\prime }\left(1\right)=-2.1+4=2$;

$f\left(1\right)=3$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y-3=2\left(x-1\right)$ hay $y=2x+1$

b) Ta có $y_0=0$ nên $-x_0^2+4x_0=0\iff [\begin{array}{c}{x}_0=0\\ x_0=4\end{array}$

+) $x_0=0,y_0=0$ nên $y^{\prime }\left(0\right)=4$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y=4x$.

+) $x_0=4,y_0=0$ nên $y^{\prime }\left(4\right)=-4$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y=-4\left(x-4\right)$ hay $y=-4x+16$.