Bài 9.5 trang 86

Đề bài

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên $L_{1}$ và đoạn dốc xuống $L_{2}$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_{1}$ và $L_{2}$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại P và phương trình của parabol là $y = a x^{2} + b x + c,$ trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hệ số góc của tiếp tuyến là $f^{'} (x_{0})$

Lời giải chi tiết

a) Vì gốc toạ độ đặt tại P nên P(0;0) do đó ta có c = y(0) = 0

b) $y^{'} = 2 a x + b \Rightarrow y^{'} (0) = b$

Mà L₁ là phương trình tiếp tuyến tại P có hệ số góc 0,5 nên $y^{'} (0) = 0, 5 \Rightarrow b = 0, 5$

c) L₂ là phương trình tiếp tuyến tại Q có hệ số góc – 0,75 nên $y^{'} (x_{Q}) = 2 a x_{Q} + 0, 5 = - 0, 75$

Vì khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m nên $x_{Q} - x_{P} = x_{Q} = 40$

$\Rightarrow 2 a .40 + 0, 5 = - 0, 75 \Rightarrow a = \frac{- 1}{64}$

d) $y_{Q} = \frac{- 1}{64} {.40}^{2} + 0, 5.40 = - 5$

Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là $| y_{P} - y_{Q} | = 5$