Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Giải bài 3.15 trang 36 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

Tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {\sqrt {20}  + 2\sqrt {45}  - 3\sqrt {80} } \right)^2}\).

Lời giải chi tiết

\(P = {\left( {\sqrt {20}  + 2\sqrt {45}  - 3\sqrt {80} } \right)^2} \\= {\left( {\sqrt {{2^2}.5}  + 2\sqrt {{3^2}.5}  - 3\sqrt {{4^2}.5} } \right)^2} \\= {\left( {2\sqrt 5  + 6\sqrt 5  - 12\sqrt 5 } \right)^2}\\= {\left( { - 4\sqrt 5 } \right)^2} = 16.5 = 80\)

Giải bài 3.16 trang 36 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: \(9\sqrt 2 ;\;8\sqrt 3 ;\;5\sqrt 6 ;\;4\sqrt 7 \).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(9\sqrt 2  = \sqrt {{9^2}.2}  = \sqrt {162} ;\\8\sqrt 3  = \sqrt {{8^2}.3}  = \sqrt {192} ;\\5\sqrt 6  = \sqrt {{5^2}.6}  = \sqrt {150} ;\\4\sqrt 7  = \sqrt {{4^2}.7}  = \sqrt {112} \)

Vì \(\sqrt {112}  < \sqrt {150}  < \sqrt {162}  < \sqrt {192} \) nên \(4\sqrt 7  < 5\sqrt 6  < 9\sqrt 2  < 8\sqrt 3 \)

Vậy các số sắp xếp theo thứ tự tăng dần là \(4\sqrt 7 ;5\sqrt 6 ;9\sqrt 2 ;8\sqrt 3 \).

Giải bài 3.17 trang 36 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

Thực hiện phép tính \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 8  + \sqrt 7 }} + \sqrt {175}  - 2\sqrt 2 } \right)^2}\).

Lời giải chi tiết

\({\left( {\frac{1}{{\sqrt 8  + \sqrt 7 }} + \sqrt {175}  - 2\sqrt 2 } \right)^2} \\= {\left[ {\frac{{\sqrt 8  - \sqrt 7 }}{{\left( {\sqrt 8  + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 8  - \sqrt 7 } \right)}} + \sqrt {{5^2}.7}  - 2\sqrt 2 } \right]^2}\\ = {\left( {\frac{{2\sqrt 2  - \sqrt 7 }}{{8 - 7}} + 5\sqrt 7  - 2\sqrt 2 } \right)^2} \\= {\left( {2\sqrt 2  - \sqrt 7  + 5\sqrt 7  - 2\sqrt 2 } \right)^2} \\= {\left( {4\sqrt 7 } \right)^2} = {4^2}.7 = 112\)

Giải bài 3.18 trang 36 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

Thực hiện phép tính \(\sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{17 - 12\sqrt 2 }}}  - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{17 + 12\sqrt 2 }}} \).

Lời giải chi tiết

\(\sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{17 - 12\sqrt 2 }}}  - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{17 + 12\sqrt 2 }}} \\ = \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 2 .3 + {3^2}}}}  - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + 2.2\sqrt 2 .3 + {3^2}}}} \\ = \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {2\sqrt 2  - 3} \right)}^2}}}}  - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {2\sqrt 2  + 3} \right)}^2}}}} \\ = \sqrt {\frac{1}{{3 - 2\sqrt 2 }}}  - \sqrt {\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }}} \\ = \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}}  - \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}} \\ = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( { - 1 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \)\( = 1 + \sqrt 2  - \sqrt 2  + 1 = 2\)

Giải bài 3.19 trang 36 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

Lời giải chi tiết

Ta có:

Do đó,

Giải bài 3.20 trang 36 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức .

b) Tính giá trị biểu thức tại .

Lời giải chi tiết

a)

b) Ta có:

Với thì:

Do đó,