Bài 9. Tích của một vectơ với một số

Giải bài 4.13 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(D,\,\,E\) tương ứng là trung điểm của \(BC,\,\,CA.\) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {CA} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BE} .\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {DE}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DE}  + \overrightarrow {EB}  = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {EB} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BE} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BD}  = 2\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\\ = 2\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DC}  =  - \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {DC} \)

\(\begin{array}{l} =  - \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\\ =  - \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \\ =  - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\)

Giải bài 4.14 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(OAB\) vuông cân, với \(OA = OB = a.\) Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB} ,\,\,2\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB} .\)

Lời giải chi tiết

+) Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC} \) với C là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(OACB\)

Ta có: tứ giác \(OACB\) là hình bình hành

mặt khác \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(A\)

nên tứ giác \(OACB\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

+) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} \)

Xét \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(O\) có:

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

+) Gọi điểm \(D\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(B\)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OD} \) và \(OD = 2a.\)

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OE} \) với \(E\) là điểm thứ tư của hình bình hành \(OAED\)

Ta có: tứ giác \(OAED\) là hình bình hành

Mặt khác \(\widehat {DOA} = {90^ \circ }\)

Nên tứ giác \(OAED\) là hình chữ nhật

Xét hình chữ nhật \(OAED\) có:

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE = \sqrt {O{A^2} + O{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \)

+) Lấy điểm \(F\) đối xứng với \(B\) qua \(D\) và \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(A\)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OG} ,\) \(3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OF} ,\) \(OG = 2a,\)\(OF = 3a\)

Ta có: \(2\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OG}  - \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {FG} \)

Xét \(\Delta OFG\) vuông tại \(O\) có:

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {FG} } \right| = FG = \sqrt {O{F^2} + O{G^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt {13} \)

Giải bài 4.15 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H,\) trọng tâm \(G\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O.\)

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OM} .\)

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} .\)

c) Chứng minh rằng ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải chi tiết

a)      Xét \((O)\) có: \(\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow A'C \bot AC\) và \(A'B \bot AB\)       (1)

Ta có: \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)

\( \Rightarrow BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\)                  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH.\)

Xét tứ giác \(ABHC\) có: \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH\)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C} \)

Ta có: tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành

nên \(M\) là trung điểm của \(A'H\)

Xét \(\Delta AA'H\) có: \(M\) là trung điểm của \(A'H\)

\(O\) là trung điểm của \(AA'\)

\( \Rightarrow \) \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA'H\)

\( \Rightarrow \) \(MO\)//\(AH\) và \(2MO = AH\)

\( \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AH} \) cùng hướng và \(2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AH} .\)

b)     Ta có:

\(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM}  + \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM} \)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {OH} \)     (3)

c)      Ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

nên \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} .\)        (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \overrightarrow {OH}  = 3\overrightarrow {OG} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương

hay ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.

Giải bài 4.16 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là trung điểm của cạnh \(AB,\,\,CD\) và gọi \(I\) là trung điểm của \(MN.\) Chứng minh rằng với điểm \(O\) bất kì đều có

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {OI} .\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {ID} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = 4\overrightarrow {OI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right)\\ = 4\overrightarrow {OI}  + 2\overrightarrow {IM}  + 2\overrightarrow {IN} \\ = 4\overrightarrow {OI} \end{array}\)

Giải bài 4.17 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho lục giác \(ABCDEF.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB,\;\,BC,\,\,CD,\,\,DE,\,\,EF,\,\,FA.\) Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(MN\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)      (1)

Chứng minh tương tự ta được: \(\overrightarrow {PQ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} \) và \(\overrightarrow {RS}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)     (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Giải bài 4.18 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều với trọng tâm \(O.\) \(M\) là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)

Lời giải chi tiết

Gọi đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\) cắt \(BC,\,\,AC\) lần lượt tại \(G,\,\,J\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(BC\) cắt \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(P,\,\,I\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AC\) cắt \(AB,\,\,BC\) lần lượt tại \(Q,\,\,H\).

Ta có: \(MG\) // \(AB\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MGH} = \widehat {ABC} = {60^ \circ }\).

\(MH\) // \(AC\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MHG} = \widehat {ACB} = {60^ \circ }\).

\( \Rightarrow \) \(\Delta MHG\) là tam giác đều.

Mặt khác \(MD \bot HG\)

\( \Rightarrow \) \(D\) là trung điểm của \(GH\)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MH} \)      (1)

Chứng minh tương tự ta được: \(2\overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP} \), \(2\overrightarrow {MF}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MJ} \)      (2)

Ta có: Tứ giác \(AQMJ,\) \(BPMG,\) \(CIMH\) là hình bình hành.

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right) \)

\(= \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MJ} \).

\(\left( {\overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MH} } \right) + \left( {\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {MG} } \right)\)

\(= \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MB} \)

\(= \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} \)

\(= 3\overrightarrow {MO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\)

\(= 3\overrightarrow {MO} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \) (đpcm).

Giải bài 4.19 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\)

a)      Tìm điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

b)     Xác định điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Lời giải chi tiết

a)      Giả sử tìm được điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(J\) là trung điểm của cạnh \(CI\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \;\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {MC}  = 4\overrightarrow {MJ} \)

Mặt khác \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(4\overrightarrow {MJ}  = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MJ}  = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\,M \equiv J\)

Vậy \(M\) là trung điểm của \(CI\).

b)     Giả sử tìm được điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(AC\).

Ta có: \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = 2\left( {\overrightarrow {NA}  - \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NC} } \right) + \overrightarrow {NA} \)

                                                     \(\begin{array}{l} = 2\overrightarrow {BA}  + \left( {\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {KC} } \right) + \overrightarrow {NA} \\ = 2\overrightarrow {BA}  + 2\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {NA} \end{array}\)

Gọi \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MK}  + \overrightarrow {MA}  = 0\)

Khi đó: \(2\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {NA}  = 2\left( {\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MK} } \right) + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {NM} \)

Do đó \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {NM} \)

Mặt khác \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {NM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)    (1)

Lấy điểm \(P\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(\overrightarrow {AP}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)    (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {AP} \)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình bình hành

Vậy điểm \(N\) cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(APMN\).

Giải bài 4.20 trang 55 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\)

a)      Tìm điểm \(K\) thỏa mãn \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 \)

b)     Tìm tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|\)

Lời giải chi tiết

a)      Giả sử tìm được điểm \(K\) thỏa mãn \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), \(J\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có: \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \left( {\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KC} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {KC} } \right) = 2\overrightarrow {KI}  + 4\overrightarrow {KJ} \)     (1)

Lấy điểm \(P\) trên cạnh \(IJ\) sao cho \(\overrightarrow {PI}  + 2\overrightarrow {PJ}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(2\overrightarrow {KI}  + 4\overrightarrow {KJ}  = 2\left( {\overrightarrow {KP}  + \overrightarrow {PI} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {KP}  + \overrightarrow {PJ} } \right) = 6\overrightarrow {KP} \)        (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = 6\overrightarrow {KP} \)

Mặt khác \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(6\overrightarrow {KP}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(K \equiv P\)

Vậy điểm \(K\)  thuộc cạnh \(IJ\) sao cho \(\overrightarrow {KI}  + 2\overrightarrow {KJ}  = \overrightarrow 0 \)

b)     Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left| {6\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\,\, \Leftrightarrow \,\,MP = \frac{1}{6}BC\)

\( \Rightarrow \) tập hợp điểm \(M\) cần tìm là đường tròn tâm \(P\), bán kính bằng \(\frac{{BC}}{6}\).

Giải bài 4.21 trang 55 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực \(\overrightarrow P \) của vật và lực đẩy Archimedes \(\overrightarrow F \) mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.

Lời giải chi tiết

Lực đẩy Archimedes \(\overrightarrow F \) và trọng lực \(\overrightarrow P \) đều tác dụng nên vật theo phương thẳng đứng, hai lực này ngược hướng nhau. Do vật ở vị trí cân bằng nên hai lực này có cường độ bằng nhau.

Gọi \(d,\,\,d'\) lần lượt là trọng lượng riêng của vật và trọng lượng riêng của chất lỏng.

\(V\) là thể tích của vật.

Khi đó, trọng lượng của vật là: \(P = \left| {\overrightarrow P } \right| = d.V\) (1)

Lực đẩy Archimedes tác động lên vật có cường độ bằng \(F = \left| {\overrightarrow F } \right| = d'.\frac{V}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(d.V = d'.\frac{V}{2} \Rightarrow \frac{d}{{d'}} = \frac{1}{2}\).