Bài 9 trang 120

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C’D’.

a) Chứng minh rằng (A’DN) // (B’CM).

b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của đường thẳng D’B với các mặt phẳng (A’DN), (B’CM). Chứng minh rằng $D^{\prime }E=BF=\frac{1}{2}EF$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: (ADD’A’) // (CBC’B’);

          (ADD’A’) ∩ (DCB’A’) = A’D;

          (CBC’B’) ∩ (DCB’A’) = B’C.

Do đó A’D // B’C, mà B’C ⊂ (B’CM) nên A’D // (B’CM).

Tương tự: (ABB’A’) // (DCC’D’);

               (ABB’A’) ∩ (DMB’N) = MB’;

               (DCC’D’) ∩ (DMB’N) = DN.

Do đó MB’ // DN, mà MB’ ⊂ (B’CM) nên DN // (B’CM).

Ta có: A’D // (B’CM);

         DN // (B’CM);

         A’D, DN cắt nhau tại điểm D và cùng nằm trong mp(A’DN).

Do đó (A’DN) // (B’CM).

b)

 Trong mp(A’B’C’D’), gọi J là giao điểm của A’N và B’D’.

Trong mp(BDD’B’), D’B cắt DJ tại E.

Ta có: D’B ∩ DJ = {E} mà DJ ⊂ (A’DN) nên E là giao điểm của D’B và (A’DN).

Tương tự, trong mp(ABCD), gọi I là giao điểm của CM và BD.

Trong mp(BDD’B’), D’B cắt B’I tại F.

Ta có: D’B ∩ B’I = {F} mà B’I ⊂ (B’CM) nên F là giao điểm của D’B và (B’CM).

• Ta có: (A’DN) // (B’CM);

            (A’DN) ∩ (BDD’B’) = DJ;

            (B’CM) ∩ (BDD’B’) = B’I.

Do đó DJ // B’I.

Trong mp(BDD’B’), xét DBDE có IF // DE nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{BI}{BD}=\frac{BF}{BE}$ (1)

Trong mp(ABCD), gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình bình hành ABCD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.

Xét ∆ABC, hai đường trung tuyến BO, CM cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác.

Suy ra $\frac{BI}{BO}=\frac{2}{3}$  hay $\frac{BI}{\frac{1}{2}BD}=\frac{2BI}{BD}=\frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{BI}{BD}=\frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{BF}{BE}=\frac{1}{3}$.

Suy ra $\frac{D^{\prime }E}{D^{\prime }F-D^{\prime }E}=\frac{1}{3-1}$ hay $\frac{D^{\prime }E}{EF}=\frac{1}{2}$ .

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{D^{\prime }E}{D^{\prime }F}=\frac{D^{\prime }J}{D^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$.

Suy ra $\frac{D^{\prime }E}{D^{\prime }F-D^{\prime }E}=\frac{1}{3-1}$  hay $\frac{D^{\prime }E}{EF}=\frac{1}{2}$.

Do đó $\frac{BF}{EF}=\frac{D^{\prime }E}{EF}=\frac{1}{2}$ nên BF = D’E = ½ EF.