Bài 9 trang 128

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Gọi MMM và NNN lần lượt là trung điểm của ABABAB và A′B′A′B′A'B' và OOO là một điểm thuộc miền trong của mặt bên CC′D′DCC′D′DCC'D'D. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (OMN)(OMN)\left( {OMN} \right) với các mặt của hình hộp.

Đề bài

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $A^{'} B^{'}$ và $O$ là một điểm thuộc miền trong của mặt bên $C C^{'} D^{'} D$ . Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(O M N)$ với các mặt của hình hộp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta có 2 cách:

+ Cách 1: Tìm 2 điểm chung phân biệt. Giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung.

+ Cách 2: Tìm 1 điểm chung và 2 đường thẳng song song nằm trên mỗi mặt phẳng. Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} M \in A B \subset (A B B^{'} A^{'}) \\ M \in (O M N) \end{array}} \Rightarrow M \in (O M N) \cap (A B B^{'} A^{'}) \\ \begin{array}{l} N \in A^{'} B^{'} \subset (A B B^{'} A^{'}) \\ N \in (O M N) \end{array}} \Rightarrow N \in (O M N) \cap (A B B^{'} A^{'}) \\ \Rightarrow (O M N) \cap (A B B^{'} A^{'}) = M N \end{array}$

$M$ là trung điểm của $A B$

$N$ là trung điểm của $A^{'} B^{'}$

$\Rightarrow M N$ là đường trung bình của hình bình hành $A B B^{'} A^{'}$

$\Rightarrow M N ∥ A A^{'} ∥ B B^{'} ∥ C C^{'} ∥ D D^{'}$

$\begin{array}{l} O \in (O M N) \cap (C D D^{'} C^{'}) \\ M N ∥ C D \\ M N \subset (O M N) \\ C D \subset (C D D^{'} C^{'}) \end{array}}$

$\Rightarrow$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $(O M N)$ và $(C D D^{'} C^{'})$ là đường thẳng $d$ đi qua $O$ , song song với $M N$ và $C D$ .

Gọi $P = d \cap C^{'} D^{'}, Q = d \cap C D \Rightarrow (O M N) \cap (C D D^{'} C^{'}) = P Q$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} M \in A B \subset (A B C D) \\ M \in (O M N) \end{array}} \Rightarrow M \in (O M N) \cap (A B C D) \\ \begin{array}{l} Q \in C D \subset (A B C D) \\ Q \in d \subset (O M N) \end{array}} \Rightarrow Q \in (O M N) \cap (A B C D) \\ \Rightarrow (O M N) \cap (A B C D) = M Q \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} N \in A^{'} B^{'} \subset (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \\ N \in (O M N) \end{array}} \Rightarrow N \in (O M N) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \\ \begin{array}{l} P \in C^{'} D^{'} \subset (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \\ P \in d \subset (O M N) \end{array}} \Rightarrow P \in (O M N) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \\ \Rightarrow (O M N) \cap (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) = N P \end{array}$

Gọi $E = M Q \cap B C, F = M Q \cap A D, G = N P \cap B^{'} C^{'}, H = N P \cap A^{'} D^{'}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} E \in B C \subset (B C C^{'} B^{'}) \\ E \in M Q \subset (O M N) \end{array}} \Rightarrow E \in (O M N) \cap (B C C^{'} B^{'}) \\ \begin{array}{l} G \in B^{'} C^{'} \subset (B C C^{'} B^{'}) \\ G \in N P \subset (O M N) \end{array}} \Rightarrow G \in (O M N) \cap (B C C^{'} B^{'}) \\ \Rightarrow (O M N) \cap (B C C^{'} B^{'}) = E G \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} F \in A D \subset (A D D^{'} A^{'}) \\ F \in M Q \subset (O M N) \end{array}} \Rightarrow F \in (O M N) \cap (A D D^{'} A^{'}) \\ \begin{array}{l} H \in A^{'} D^{'} \subset (A D D^{'} A^{'}) \\ H \in N P \subset (O M N) \end{array}} \Rightarrow H \in (O M N) \cap (A D D^{'} A^{'}) \\ \Rightarrow (O M N) \cap (A D D^{'} A^{'}) = F H \end{array}$