Bài 9 trang 62

Xét tính tăng, giảm của dãy số (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}).

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2^{n}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm $u_{n + 1}$ .

Bước 2: Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ .

Bước 3: Kết luận:

– Nếu $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ thì $u_{n + 1} > u_{n}, \forall n \in N^{*}$ , vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.

– Nếu $u_{n + 1} - u_{n} < 0$ thì $u_{n + 1} < u_{n}, \forall n \in N^{*}$ , vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm.

Lời giải chi tiết

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{3^{n + 1} - 1}{2^{n + 1}} = \frac{{3.3}^{n} - 1}{{2.2}^{n}}$ .

Xét hiệu:

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} = \frac{{3.3}^{n} - 1}{{2.2}^{n}} - \frac{3^{n} - 1}{2^{n}} = \frac{({3.3}^{n} - 1) - 2. (3^{n} - 1)}{{2.2}^{n}} \\ = \frac{{3.3}^{n} - 1 - {2.3}^{n} + 2}{{2.2}^{n}} = \frac{3^{n} + 1}{2^{n + 1}} > 0, \forall n \in N^{*} \end{array}$

Vậy $u_{n + 1} - u_{n} > 0 \Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ . Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.