Bài 9 trang 86

Cho hình vuông ABCDABCDABCD và tam giác đều SABSABSAB cạnh aaa nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M,NM,NM,N lần lượt là trung điểm của ABABAB và ADADAD.

Đề bài

Cho hình vuông $A B C D$ và tam giác đều $S A B$ cạnh $a$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $A D$ .

a) Chứng minh rằng $(S M D) ⊥ (S N C)$ .

b) Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(S N C)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Gọi $I = C N \cap D M$

$Δ S A B$ đều $\Rightarrow S M ⊥ A B$

Mà $(S A B) ⊥ (A B C D), (S A B) \cap (A B C D) = A B$

$\Rightarrow S M ⊥ (A B C D) \Rightarrow S M ⊥ C N$

$Δ A D M = Δ D C N (c . g . c) \Rightarrow \hat{A M D} = \hat{C N D}$

Mà $\hat{A M D} + \hat{A D M} = 90^{\circ}$

$\hat{C N D} + \hat{A D M} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{N I D} = 180^{\circ} - (\hat{C N D} + \hat{A D M}) = 90^{\circ} \Rightarrow C N ⊥ D M$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S M ⊥ C N \\ C N ⊥ D M \end{array}} \Rightarrow C N ⊥ (S M D) \\ C N \subset (S N C) \end{array}} \Rightarrow (S N C) ⊥ (S M D)$

b) Kẻ $M H ⊥ S I (H \in S I)$

$C N ⊥ (S M D) \Rightarrow C N ⊥ M H$

$\Rightarrow M H ⊥ (S N C) \Rightarrow d (M, (S N C)) = M H$

$Δ C D N$ vuông tại $D$ có đường cao $D I$

$D N = \frac{1}{2} A D = \frac{a}{2}, C N = \sqrt{C D^{2} + D N^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}, D I = \frac{C D . D N}{C N} = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

$D M = C N = \frac{a \sqrt{5}}{2} \Rightarrow M I = D M - D I = \frac{3 a \sqrt{5}}{10}$

$Δ S A B$ đều $\Rightarrow S M = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$Δ S M I$ vuông tại $M$ có đường cao $M H$

$\Rightarrow M H = \frac{S M . M I}{\sqrt{S M^{2} + M I^{2}}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{8}$

Vậy $d (M, (S N C)) = \frac{3 a \sqrt{2}}{8}$