Bài 9 trang 86

Đề bài

Cho hình vuông $A B C D$ và tam giác đều $S A B$ cạnh $a$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $A D$ .

a) Chứng minh rằng $(S M D) ⊥ (S N C)$ .

b) Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(S N C)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Tính khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Gọi $I = C N \cap D M$

$Δ S A B$ đều $\Rightarrow S M ⊥ A B$

Mà $(S A B) ⊥ (A B C D), (S A B) \cap (A B C D) = A B$

$\Rightarrow S M ⊥ (A B C D) \Rightarrow S M ⊥ C N$

$Δ A D M = Δ D C N (c . g . c) \Rightarrow \hat{A M D} = \hat{C N D}$

Mà $\hat{A M D} + \hat{A D M} = 90^{\circ}$

$\hat{C N D} + \hat{A D M} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{N I D} = 180^{\circ} - (\hat{C N D} + \hat{A D M}) = 90^{\circ} \Rightarrow C N ⊥ D M$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} S M ⊥ C N \\ C N ⊥ D M \end{array}} \Rightarrow C N ⊥ (S M D) \\ C N \subset (S N C) \end{array}} \Rightarrow (S N C) ⊥ (S M D)$

b) Kẻ $M H ⊥ S I (H \in S I)$

$C N ⊥ (S M D) \Rightarrow C N ⊥ M H$

$\Rightarrow M H ⊥ (S N C) \Rightarrow d (M, (S N C)) = M H$

$Δ C D N$ vuông tại $D$ có đường cao $D I$

$D N = \frac{1}{2} A D = \frac{a}{2}, C N = \sqrt{C D^{2} + D N^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}, D I = \frac{C D . D N}{C N} = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

$D M = C N = \frac{a \sqrt{5}}{2} \Rightarrow M I = D M - D I = \frac{3 a \sqrt{5}}{10}$

$Δ S A B$ đều $\Rightarrow S M = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$Δ S M I$ vuông tại $M$ có đường cao $M H$

$\Rightarrow M H = \frac{S M . M I}{\sqrt{S M^{2} + M I^{2}}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{8}$

Vậy $d (M, (S N C)) = \frac{3 a \sqrt{2}}{8}$