Bài 9 trang 98

Một hộp có 5 quả bóng xanh, 6 quả bóng đỏ và 4 quả bóng vàng

Đề bài

Một hộp có 5 quả bóng xanh, 6 quả bóng đỏ và 4 quả bóng vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Chọn ra ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng. Tính xác suất của các biến cố:

$A$ : “Cả 4 quả bóng lấy ra có cùng màu”;

$B$ : “Trong 4 bóng lấy ra có đủ cả 3 màu”.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính xác suất: $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)}$ .

‒ Sử dụng quy tắc cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc: Cho hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc. Khi đó: $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Lời giải chi tiết

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 15 quả bóng có $C_{15}^{4} = 1365$ cách.

$\Rightarrow n (Ω) = 1365$

Gọi $A_{1}$ là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu xanh”, $A_{2}$ là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu đỏ”, $A_{3}$ là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu vàng”.

Vậy $A = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$ là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra có cùng màu”.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có $C_{5}^{4} = 5$ cách.

$\Rightarrow n (A_{1}) = 5 \Rightarrow P (A_{1}) = \frac{n (A_{1})}{n (Ω)} = \frac{5}{1365} = \frac{1}{273}$

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có $C_{6}^{4} = 15$ cách.

$\Rightarrow n (A_{2}) = 15 \Rightarrow P (A_{2}) = \frac{n (A_{2})}{n (Ω)} = \frac{15}{1365} = \frac{1}{91}$

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có $C_{4}^{4} = 1$ cách.

$\Rightarrow n (A_{3}) = 1 \Rightarrow P (A_{3}) = \frac{n (A_{3})}{n (Ω)} = \frac{1}{1365}$

$\Rightarrow P (A) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + P (A_{3}) = \frac{1}{65}$

Gọi $B_{1}$ là biến cố “Lấy ra 2 bóng xanh, 1 bóng đỏ, 1 bóng vàng”, $B_{2}$ là biến cố “Lấy ra 1 bóng xanh, 2 bóng đỏ, 1 bóng vàng”, $B_{3}$ là biến cố “Lấy ra 1 bóng xanh, 1 bóng đỏ, 2 bóng vàng”.

Vậy $B = B_{1} \cup B_{2} \cup B_{3}$ là biến cố “Trong 4 bóng lấy ra có đủ cả 3 màu”.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có $C_{5}^{2} = 10$ cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 6 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 cách.

$\Rightarrow n (B_{1}) = 10.6.4 = 240 \Rightarrow P (B_{1}) = \frac{n (B_{1})}{n (Ω)} = \frac{240}{1365} = \frac{16}{91}$

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 5 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có $C_{6}^{2} = 15$ cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 cách.

$\Rightarrow n (B_{2}) = 5.15.4 = 300 \Rightarrow P (B_{2}) = \frac{n (B_{2})}{n (Ω)} = \frac{300}{1365} = \frac{20}{91}$

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 5 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 6 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có $C_{4}^{2} = 6$ cách.

$\Rightarrow n (B_{3}) = 5.6.6 = 180 \Rightarrow P (B_{3}) = \frac{n (B_{3})}{n (Ω)} = \frac{180}{1365} = \frac{12}{91}$

$\Rightarrow P (B) = P (B_{1}) + P (B_{2}) + P (B_{3}) = \frac{48}{91}$