Bài tập cuối chương 1 Toán 11 Cùng khám phá

Bài 1.29 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trên một đường tròn có bán kính 8 cm, tìm độ dài của các cung có số đo lần lượt là:

a) \(\frac{\pi }{{12}};\)

b) 108⁰

Lời giải chi tiết

a) \(l = \alpha r = \frac{\pi }{{12}}.8 = \frac{{2\pi }}{3}\)(cm)

b) \(l = \frac{{\alpha \pi r}}{{180}} = \frac{{108\pi .8}}{{180}} = \frac{{24\pi }}{5}\)(cm)

Bài 1.30 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trên một đường tròn lượng giác, tìm điểm biểu diễn của các góc lượng giác có số đo sau:

a) \(\frac{{13\pi }}{3};\)

b) -765⁰.

Lời giải chi tiết

a) Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\frac{{13\pi }}{3}\) là điểm B trên đường tròn lượng giác sao cho sđ(OA, OB) =\(\frac{{13\pi }}{3}\).

b) Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo -765⁰ là điểm C trên đường tròn lượng giác sao cho sđ(OA, OC) =-765⁰.

 

Bài 1.31 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Giả sử \(\cos \alpha  = m\), với \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi \). Tính các giá trị sau theo m:

a) \(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right);\)

b) \(\sin \left( {\alpha  + \pi } \right);\)

c) \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right);\)

d) \(\tan \left( {3\pi  - \alpha } \right).\)

Lời giải chi tiết

a) \(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha  =  - m\)

b) \({\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - {m^2}\)

\(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi \)\( \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {1 - {m^2}} \)

Ta có: \(\sin \left( {\alpha  + \pi } \right) =  - \sin \alpha  = \sqrt {1 - {m^2}} \)

c) \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \alpha  = m\)

d) \(\tan \left( {3\pi  - \alpha } \right) = \tan \left( { - \alpha } \right) =  - \tan \alpha  =  - \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \sqrt {1 - {m^2}} }}{m}\)

Bài 1.32 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Biết \(\sin \alpha  =  - \frac{1}{6}\) và \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\), tính:

a) \(\sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right);\)

b) \(\cos 2\alpha ;\)

c) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right);\)

d) \(\cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right).\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = \frac{{35}}{{36}}\\ \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt {35} }}{6}\\ \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt {35} }}\end{array}\)

a) \(\sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3} =  - \frac{1}{6}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{{\sqrt {35} }}{6}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt {105}  - 1}}{{12}}\)

b) \(\cos 2\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = \frac{{35}}{{36}} - {\left( { - \frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{{17}}{{18}}\)

c) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \alpha }}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan \alpha }} = \frac{{1 - \frac{1}{{\sqrt {35} }}}}{{1 + \frac{1}{{\sqrt {35} }}}} = \frac{{18 - \sqrt {35} }}{{17}}\)

d) \({\cos ^2}\left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{\cos \alpha  + 1}}{2} = \frac{{ - \frac{{\sqrt {35} }}{6} + 1}}{2} = \frac{{6 - \sqrt {35} }}{{12}}\)

Mà \(\frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \frac{{3\pi }}{4}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) =  - \sqrt {\frac{{6 - \sqrt {35} }}{{12}}} \)

Bài 1.33 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \({\left( {\cos a - \sin a} \right)^2} = 1 - \sin 2a;\)

b) \(\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) = {\cos ^2}a - {\sin ^2}b;\)

c) \(\frac{{\sin a + \sin 3a}}{{1 + \cos 2a}} = 2\sin a\,\,\,\,\left( {{\rm{khi }}\cos 2a \ne  - 1} \right)\)

d) \(\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{7\pi }}{9} = 0.\)

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {\cos a - \sin a} \right)^2} = {\cos ^2}a - 2\cos a\sin a + {\sin ^2}a = 1 - \sin 2a\)

b)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2a} \right) + \cos \left( {2b} \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 1 + 2{{\cos }^2}b - 1} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 2{{\cos }^2}b} \right) = {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\end{array}\)

c) \(\frac{{\sin a + \sin 3a}}{{1 + \cos 2a}} = \frac{{2\sin \left( {2a} \right)\cos a}}{{2{{\cos }^2}a}} = \frac{{\sin \left( {2a} \right)}}{{\cos a}} = \frac{{2\sin a\cos a}}{{\cos a}} = 2\sin a\)

d)

\(\begin{array}{l}\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{7\pi }}{9} = \cos \frac{\pi }{9} + 2\cos \frac{{2\pi }}{3}\cos \frac{\pi }{9}\\ = \cos \frac{\pi }{9}\left( {1 + 2\cos \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{9}\left( {1 + 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right) = \cos \frac{\pi }{9}.0 = 0\end{array}\)

Bài 1.34 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

a) Hàm số \(y = \cos 2x\) có phải là hàm số chẵn không? Vì sao?

b) Hàm số \(y = \sin x + \cos x\) có phải là hàm số lẻ không? Vì sao?

c) Hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{5}} \right)\) có phải là hàm số tuần hoàn không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - 2x} \right) = \cos 2x = f\left( x \right)\end{array}\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

b)

\(\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\\\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) + \cos \left( { - x} \right) =  - \sin x + \cos x \ne f\left( x \right)\end{array}\)

Vậy hàm số đã cho không phải hàm số lẻ.

c)

\(\begin{array}{l}D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{3\pi }}{{10}} + k\pi } \right\}\\\forall x \in D \Rightarrow x + \pi  \in D,x - \pi  \in D\\f\left( {x + \pi } \right) = \tan \left( {x + \pi  + \frac{\pi }{5}} \right) = \tan \left( {x + \frac{\pi }{5}} \right) = f\left( x \right)\end{array}\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn.

Bài 1.35 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = \cot x\), tìm các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { - 2\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) để hàm số đó:

a) Nhận giá trị bằng -1;

b) Nhận giá trị dương.

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}\cot x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ - 2\pi  \le  - \frac{\pi }{4} + k\pi  \le \frac{{3\pi }}{2}\\ \Leftrightarrow  - \frac{{7\pi }}{4} \le k\pi  \le \frac{{7\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow  - \frac{7}{4} \le k \le \frac{7}{4}\\ \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{5\pi }}{4}; - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}\end{array}\)

Vậy các giá trị của x để hàm số nhận giá trị bằng -1 là \( - \frac{{5\pi }}{4}; - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}\).

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên hình, \(x \in \left( { - 2\pi ; - \frac{{3\pi }}{2}} \right) \cup \left( { - \pi ; - \frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) thì hàm số nhận giá trị dương.

Bài 1.36 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(\cos 7x =  - \frac{1}{2};\)

b) \(\sin \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0;\)

c) \(\tan \left( {2x + 1} \right) =  - 4;\)

d) \(\cos 3x - \sin 2x = 0.\)

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}\cos 7x =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\7x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{{21}} + k\frac{{2\pi }}{7}\\x =  - \frac{{2\pi }}{{21}} + k\frac{{2\pi }}{7}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{{2\pi }}{{21}} + k\frac{{2\pi }}{7}\), \(x =  - \frac{{2\pi }}{{21}} + k\frac{{2\pi }}{7}\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b)

\(\begin{array}{l}\sin \left( { - x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - x + \frac{\pi }{4} = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow  - x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} - k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} - k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\tan \left( {2x + 1} \right) =  - 4\\ \Leftrightarrow 2x + 1 \approx  - 1,33 + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 2x =  - 2,33 + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x =  - 1,165 + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - 1,165 + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

d)

\(\begin{array}{l}\cos 3x - \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 3x = \sin 2x\\ \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x =  - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\), \(x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Bài 1.37 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x =  - 5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{3}} \right)\) (t tính bằng giây, x tính bằng centimét). Xác định các thời điểm vật có li độ bằng 2 cm.

Lời giải chi tiết

Thay x = 2 vào phương trình, ta có:

\(\begin{array}{l} - 5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{3}} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{3}} \right) =  - \frac{2}{5}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{3} = 1,98 + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{3} =  - 1,98 + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1,89 + 6k\\t =  - 1,89 + 6k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Các thời điểm vật có li độ bằng 2 cm là \(t = 1,89 + 6k\), \(t =  - 1,89 + 6k\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Bài 1.38 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Giả sử số miligam của các chất ô nhiễm trong một mét khối không khí trong một tháng tại một thành phố công nghiệp được xác định bởi công thức \(P\left( t \right) = 38 + 12\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{7}\left( {t - \frac{{37}}{{12}}} \right)} \right]\), trong đó t là số ngày kể từ ngày thứ Bảy của tuần đầu tiên.

a) Tính số miligam của các chất ô nhiễm trong một mét khối không khí vào các ngày thứ Hai và thứ Năm của tuần thứ hai.

b) Ngày nào trong tháng mà số miligam của các chất ô nhiễm trong một mét khối không khí bằng 50 mg?

Lời giải chi tiết

a) Số miligam của các chất ô nhiễm trong một mét khối không khí vào ngày thứ Hai là: \(P\left( 2 \right) = 38 + 12\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{7}\left( {2 - \frac{{37}}{{12}}} \right)} \right] \approx 37,1\) (mg)

Số miligam của các chất ô nhiễm trong một mét khối không khí vào ngày thứ Năm là: \(P\left( 5 \right) = 38 + 12\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{7}\left( {5 - \frac{{37}}{{12}}} \right)} \right] \approx 44\) (mg)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}38 + 12\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{7}\left( {t - \frac{{37}}{{12}}} \right)} \right] = 50\\ \Leftrightarrow 12\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{7}\left( {t - \frac{{37}}{{12}}} \right)} \right] = 12\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{{2\pi }}{7}\left( {t - \frac{{37}}{{12}}} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{7}\left( {t - \frac{{37}}{{12}}} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow t - \frac{{37}}{{12}} = \frac{7}{4} + 7k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow t = \frac{{29}}{6} + 7k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow t \approx 4,83 + 7k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy số miligam của các chất ô nhiễm trong một mét khối không khí bằng 50 mg khi t = 5 tức là, vào các ngày thứ Tư hàng tuần trong tháng.

Bài 1.39 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\sin \alpha  < 0\)

B. \(\tan \alpha  > 0\)

C. \(\cos \frac{\alpha }{2} > 0\)

D. \(\cos \frac{\alpha }{2} < 0\)

Lời giải chi tiết

\(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\)\( \Rightarrow \frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} < 0\)

Chọn đáp án C.

Bài 1.40 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\frac{{1 - \cos x}}{{1 + \cos x}}} \) là

A. \(\emptyset \)

B. \(\mathbb{R}\)

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\pi  + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Lời giải chi tiết

Để hàm số xác định \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - \cos x \ge 0\\1 + \cos x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - \cos x \le 0\\1 + \cos x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\cos x \le 1\\\cos x >  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ge 1\\\cos x <  - 1\end{array} \right.\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \cos x \ne  - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Chọn đáp án D.

Bài 1.41 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

A. 1.

B. -3.

C. -4.

D. -7.

Lời giải chi tiết

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -7.

Chọn đáp án D.

Bài 1.42 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Phương trình \(\cot x =  - 1\) có số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;4\pi } \right]\)là

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\cot x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\0 \le  - \frac{\pi }{4} + k\pi  \le 4\pi \\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} \le k\pi  \le \frac{{17\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{17}}{4}\\k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4};\frac{{11\pi }}{4};\frac{{15\pi }}{4}} \right\}\end{array}\)

Chọn đáp án B.

Bài 1.43 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Phương trình \(\sin x = \cos x\) có số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là

A. 2.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\sin x = \cos x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - x = x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - x =  - x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\\frac{\pi }{2} = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} - k\pi \\k = \frac{1}{4}\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ - \pi  \le x \le \pi  \Leftrightarrow  - \pi  \le \frac{\pi }{4} - k\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{{5\pi }}{4} \le  - k\pi  \le \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \frac{5}{4} \ge k \ge  - \frac{3}{4}\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{4}; - \frac{{3\pi }}{4}} \right\}\end{array}\)

Chọn đáp án A.