Bài tập cuối chương 1 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 1.29 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số liên tục trên các khoảng và có bảng biến thiên như Bảng 1.4. Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

- Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .

- Hàm số đạt cực đại tại và không có cực tiểu.

Giải bài tập 1.30 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Lập bảng biến thiên, tìm khoảng đơn điệu và cực trị (nếu có) của hàm số:

a)

b)

c)

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

_{Ta có:}

hoặc

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,) và (1,∞), đồng biến trên khoảng (,1).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực đại tại

b)

- Tập xác định: .

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Suy ra đường thẳng . là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có:

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên . và .

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

c)

- Tập xác định: D = [0,4].

- Đạo hàm:

- Giải phương trình :

- Bảng biến thiên:

- Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng [0,2) và nghịch biến trên khoảng (2,4].

- Hàm số đạt cực đại tại  và không có cực tiểu.

Giải bài tập 1.31 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Từ một miếng bìa hình chữ nhật với kích thước 20cm x 10cm, bạn Lan cắt bỏ hai hình vuông có cạnh là x (cm) và hai hình chữ nhật (phần gạch sọc Hình 1.65) rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật. Tìm x để thể tích hộp là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Lời giải chi tiết

- Sau khi cắt bỏ và gấp lại, các phần còn lại của miếng bìa sẽ tạo thành một hình hộp chữ nhật kích thước:

Chiều dài: (cm).

Chiều rộng: 10−2𝑥 (cm).

Chiều cao: x (cm).

- Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

- Đạo hàm của hàm số thể tích là: .

- Giải phương trình :

.

Vì miền xác định của x là nên chỉ nhận giá trị

- Bảng biến thiên:

Vậy thì thể tích hình hộp là lớn nhất và có giá trị là cm³.

Giải bài tập 1.32 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều S.EFGH bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5 cm và cắt tấm bìa theo các tam giác cân AEB, BFC, CGD, DHA. Sau đó bạn gấp các tam giác AEH,  BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành đỉnh S của khối chóp tứ giác đều như hình 1.66. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có hình vẽ như sau:

- Đặt x (cm) là độ dài các cạnh của hình vuông EFGH ($x\in (0;2,5\sqrt{2})$).

Tương đương EF = FG = GH = EH = x nên $S_{EFGH}=x^2$.

Đặt SO là chiều cao của hình chóp S.EFGH.

- Độ dài đường chéo của hình vuông EFGH là $HF=EG=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt{2}$ cm.

- Ta có: .

- Vì tam giác vuông SOE vuông tại O nên suy ra:

.

- Thể tích của hình chóp S.EFGH là:

.

Để thể tích hình chóp S.EFGH là lớn nhất thì phải đạt giá trị lớn nhất trong khoảng từ .

- Tính đạo hàm: .

Nhận thấy sẽ đạt giá trị lớn nhất tại .

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành là:

.

Giải bài tập 1.33 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số có đồ thị là đường cong như Hình 1.67. Xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

- Tiệm cận đứng:

- Tiệm cận ngang:

- Tiệm cận xiên: Không tồn tại vì hàm số đã có tiệm cận ngang.

Giải bài tập 1.34 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số \(y =  - {x^3} + 3x + 1\). Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \infty \)

_{Ta có:}

\({y^\prime } =  - 3{x^2} + 3\)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow  - 3{x^2} + 3 = 0 \leftrightarrow x =  \pm 1\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-1) và (1,∞), đồng biến trên khoảng (-1,1).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1,{y_{CT}} =  - 1\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 3\)

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,1).

Giao điểm với trục Ox là (-1,53;0), (-0,53;0) và (1,88;0).

- Tính đạo hàm bậc hai: \(f''(x) =  - 6x\)

- Giải phương trình \(f''(x) = 0\): \( - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

\(x = 0 \to f(0) = 1\)

Vậy (0,1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

Giải bài tập 1.35 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a)

b)

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định:

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Suy ra đường thẳng là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

Suy ra đường thẳng . là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có:

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: và tiệm cận ngang

Giao với trục Oy tại điểm (0,3)

Giao với trục Ox tại điểm (-2,0)

b)

- Tập xác định:

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

 

Suy ra đường thẳng . là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Khi nên đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có:

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

- Vẽ đồ thị

Giao điểm với trục Ox là

Giao điểm với trục Oy là

Giải bài tập 1.36 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Chuyên viên phân tích thị trường của một công ty X sản xuất máy xay sinh tố nhận thấy rằng, nếu công ty sản xuất x máy xay hằng năm thì tổng lợi nhuận thu được sẽ tính theo công thức: (triệu đồng)

a) Công ty X cần sản xuất ít nhất bao nhiêu máy xay để không bị lỗ, biết rằng công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi?

b) Lợi nhuận lớn nhất công ty có thể thu được là bao nhiêu? Khi đó cần sản xuất bao nhiêu máy xay?

Lời giải chi tiết

a)

Để không bị lỗ thì

Do công ty sản xuất 20 máy xay vẫn chưa có lãi vì

Nên ta loại bỏ các giá trị x ≤ 20.

Sử dụng máy tính cầm tay để giải bất phương trình:

Loại x ≤ -45.22 vì ta có điều kiện x > 20.

Suy ra để công ty X không bị lỗ thì cần sản xuất ít nhất máy xay.

b)

- Đạo hàm của hàm lợi nhuận:

- Giải phương trình

- Tính giá trị của hàm số tại và tại các đầu mút của khoảng xác định là và (do số máy xay phải nằm trong khoảng [26;250] thì mới có lợi nhuận) để so sánh và tìm giá trị lớn nhất.

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu được là 3276,1252 (triệu đồng) và số máy xay cần sản xuất là 166 máy.

Giải bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Vật lí, khi một điện trở ngoài có giá trị R (Ω) được nối qua một nguồn điện E (V) với một điện trở trong r (Ω) thì công suất (tính bằng W) của điện trở ngoài là:

Khi R thay đổi, E và r cố định, ta xem P là hàm số theo R. Tìm công suất lớn nhất của điện trở ngoài.

Lời giải chi tiết

Ta có hàm số

Lấy đạo hàm của P theo R:

Đặt P(R)=0 suy ra:

Lấy đạo hàm cấp hai của P theo R:

Với R = r thì ta có:

Vì đạo hàm cấp hai tại R = r là âm, điều này xác nhận rằng R = r là một điểm cực đại.

Vậy công suất lớn nhất của điện trở ngoài khi R = r là:

Giải bài tập 1.38 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hóa học, xét một số phản ứng đơn giản một chiều có dạng:

aA+bB→cC+dDa

trong đó A,B,C,D là các chất hóa học và a,b,c,d là các hệ số cân bằng.

Theo định luật tác dụng khối lượng (M. Guldberg & P. Waage, 1864), tốc độ phản ứng hóa học được xác định bởi công thức: v=k[A]^a[B]^b

trong đó k là hằng số tốc độ phản ứng chỉ phụ thuộc vào bản chất của chất phản ứng và nhiệt độ; [A],[B] lần lượt là nồng độ mol của các chất A, B tại thời điểm đang xét (đơn vị mol/l).

Biết phương trình tạo ra khí nitrogen dioxide (NO₂) từ nitrogen monoxide (NO) và oxygen (O₂) như sau: 2NO+O₂→2NO₂.

Xác định nồng độ khí oxygen tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất, biết rằng tổng nồng độ của O₂ và NO là 1 (mol/l).

Lời giải chi tiết

Viết phương trình tốc độ phản ứng:

Đặt và (tổng nồng độ là 1 mol/l).

Thay vào phương trình tốc độ ta có:

Tính đạo hàm:

Giải phương trình : (loại vì nồng độ phải dương).

Kiểm tra đạo hàm cấp hai để đảm bảo rằng đây là giá trị cực đại:

Tại :

Nhận thấy tại thì giá trị của đạo hàm cấp hai là âm, đây là điểm cực đại.

Kết luận: Nồng độ khí oxygen tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất là mol/l.

Giải bài tập 1.39 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một cổng vòm có dạng nửa hình tròn trên mặt đất với bán kính R=5 m. Người ta muốn đặt một khung hình chữ nhật ABCD để thiết kế trang trí, với hai điểm A,B đính trên vòm và CD đặt trên mặt đất (Hình 1.68). Tìm khoảng cách A,B so với mặt đất để diện tích hình chữ nhật ABCD là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi y (m) là khoảng cách từ A và B đến mặt đất (y>0).

Vì A và B nằm trên nửa hình tròn có tâm tại gốc tọa độ (0,0) và bán kính R=5 m, tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình đường tròn:

Giả sử A có toạ độ và B có toạ độ .

Chiều dài AB là:

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

Thay vào biểu thức diện tích ta được:

Đạo hàm của S theo y:

Đặt đạo hàm bằng 0, ta có:

Đạo hàm cấp 2 của S:

Thay vào đạo hàm cấp 2 ta được:

Vì giá trị âm nên là cực đại của hàm S.

Vậy A, B cách mặt đất một khoảng thì diện tích hình chữ nhật ABCD là lớn nhất.

Giải bài tập 1.40 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày 24/4/1990. Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng (t=0 giây) cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm t = 126 giây, được xác định bởi công thức:

(Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p. 282). Tính gia tốc lớn nhất và gia tốc nhỏ nhất của tàu trong khoảng thời gian này (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải chi tiết

Ta có hàm vận tốc :

Đạo hàm của là:

Áp dụng quy tắc đạo hàm:

Đạo hàm của là:

Giải phương trình :

Ta có . Chúng ta sẽ kiểm tra giá trị của gia tốc tại các thời điểm và .

Tại :

Tại :

Tại :

Kết luận:

Gia tốc lớn nhất: feet / giây (tại giây).

Gia tốc nhỏ nhất: feet/giây (tại giây)

Giải bài tập 1.41 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Đạo hàm của hàm số:

Đặt , ta có:

Chọn , ta được:

Vì giá trị âm nên khoảng (1;5) nghịch biến → Chọn D.

Giải bài tập 1.42 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên .

B. Hàm số đồng biến trên .

C. Hàm số đồng biến trên .

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng và .

Lời giải chi tiết

Có thể loại đáp án C vì tập xác định của hàm số là nên không thể đồng biến trên R.

Đạo hàm của hàm số: .

Dấu của y′ cho thấy rằng hàm số luôn đồng biến trên các khoảng mà nó xác định, tức là trên các khoảng (−∞,−2) và (−2,∞).

Nhìn qua có thể thấy đáp án A và đáp D đều đúng nhưng cách diễn đạt của đáp án A là không hợp lý → Chọn D.

Giải bài tập 1.43 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như Bảng 1.5. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên và đạt cực đại tại .

B. Hàm số đồng biến trên và đạt cực đại tại .

C. Hàm số nghịch biến trên và đạt cực đại tại .

D. Hàm số nghịch biến trên và đạt cực đại tại .

Lời giải chi tiết

Dựa vào bảng 1.5 có thể thấy trong khoảng (0;2) thì hàm số đồng biến và đạt cực đại tại . → Chọn A.

Giải bài tập 1.44 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số $y=\frac{x^2+7x+3}{x^2}$ có đồ thị là đường cong như Hình 1.70. Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải chi tiết

Nhìn vào đồ thị có thể thấy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là $y=1$.

Ngoài ra đồ thị còn 1 tiệm cận đứng đó là $x=0$

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. Chọn B.

Giải bài tập 1.45 trang 48 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một trang trại mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau. Mỗi ngày, nếu bán rau với giá 30000 đồng/kg thì hết rau, nếu giá bán cứ tăng thêm 1000 đồng/kg thì số rau thừa lại tăng thêm 20 kg . Số rau thừa này được bán để làm thức ăn cho gia súc với giá 2000 đồng/kg. Hỏi số tiền bán rau nhiều nhất mà trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu?

A. 32420000 đồng.

B. 32400000 đồng.

C. 34400000 đồng.

D. 32240000 đồng.

Lời giải chi tiết

Gọi 𝑥 là số lần giá bán tăng thêm 1000 đồng/kg.

Giá bán rau là 30000 + 1000𝑥 đồng/kg.

Số rau thừa là 20𝑥 kg (do mỗi lần tăng giá, số rau thừa tăng thêm 20 kg).

Số rau bán hết là 1000 − 20𝑥 kg (do mỗi lần tăng giá, số rau bán hết giảm 20 kg).

Doanh thu từ rau bán hết với giá 30000 + 1000𝑥 đồng/kg

$R_1\left(x\right)=(1000-20x)(30000+1000x)$

Doanh thu từ rau thừa bán làm thức ăn gia súc là:$R_2\left(x\right)=20x.2000$

Tổng doanh thu là:

Nhận thấy hàm số là một hàm bậc hai có dạng với

Giá trị 𝑥 tại đỉnh của parabol (tức là giá trị R(𝑥) đạt cực đại) được tính bằng công thức:

Thay vào R(𝑥):

Vậy số tiền bán rau nhiều nhất mà trang tại có thể thu được mỗi ngày là 32420000 đồng.

Chọn A.

Giải bài tập 1.46 trang 49 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=-x^3+2x^2-1$ trên đoạn $[-1;2]$ là

A.

B.

C. -2

D.

Lời giải chi tiết

Đạo hàm của hàm số: .

Đặt

Tính 𝑓(𝑥) tại các điểm .

.

.

.

.

Vậy giá trị lớn nhất là 2 và giá trị nhỏ nhất là -1.

Tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là -2.

Chọn C.

Giải bài tập 1.47 trang 49 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh A thường kéo dài trong 60 ngày. Người ta nhận thấy lượng gạo xuất khẩu tính theo ngày thứ được xác định bởi công thức: (tấn) . Hỏi trong 60 ngày đó, ngày thứ mấy có lượng gạo xuất khẩu cao nhất?

A. 60

B. 45

C. 30

D. 25

Lời giải chi tiết

Đạo hàm của hàm số:

Đặt

Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và các điểm biên:

Nhận thấy giá trị lớn nhất là 54100 tại t=60.

Vậy ngày có lượng gạo xuất khẩu cao nhất là ngày thứ 60.

Chọn A.

Giải bài tập 1.48 trang 49 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Đồ thị của hàm số là đường cong trong hình nào dưới đây?

Lời giải chi tiết

Loại A vì có đến 3 cực trị.

Theo đề bài ta có a = 1 > 0 nên đồ thị sẽ đi từ phía dưới bên trái, suy ra loại C.

Theo đề bài ta có d = 2 nên đồ thị sẽ cắt trục tung tại điểm (0;2), suy ra loại B.

Đáp án đúng là D.