Bài tập cuối chương 2

Giải bài 2.33 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tứ diện . Trong các vectơ có hai đầu mút là hai đỉnh phân biệt của tứ diện, có bao nhiêu vectơ có giá nằm trong mặt phẳng ?

A. 3.                               

B. 4.                               

C. 5.                     

D. 6.

Lời giải chi tiết

Đáp án: D.

Ta có các vectơ thỏa mãn yêu cầu là . Vậy có 6 vectơ.

Giải bài 2.34 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Vectơ $\overrightarrow{a}$ có đúng một vectơ đối.

B. Vectơ $\overrightarrow{a}$ có hai vectơ đối là $\overrightarrow{0}$ và chính nó.

C. Vectơ $\overrightarrow{a}$ có hai vectơ đối là $\overrightarrow{a}$ và $-\overrightarrow{a}$.

D. Các vectơ đối của $\overrightarrow{a}$ đều bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có $-\overrightarrow{a}$ là một vectơ đối của $\overrightarrow{a}$.

Suy ra tất cả các vectơ đối của $\overrightarrow{a}$ là các vectơ bằng $-\overrightarrow{a}$, do đó chúng bằng nhau.

Chọn D

Giải bài 2.35 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. .                              

B. .                              

C. .                             

D. .

Lời giải chi tiết

Đáp án: C.

+ Xét đáp án A:

Ta có là hình bình hành do đó .

Suy ra do đó đáp án A sai.

 

+ Xét đáp án B:

Ta có suy ra do đó đáp án B sai.

+ Xét đáp án C:

Ta có mà do đó

đúng. Suy ra đáp án C đúng.

Vậy ta chọn C.

Giải bài 2.36 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài mỗi cạnh bằng 2. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ bằng

A. 4

B. $2\sqrt{2}$

C. $-2\sqrt{2}$                 

D. $-4$

Lời giải chi tiết

Đáp án: D.

Lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ là $A$, $B$ thuộc tia $Ox$, $C^{\prime }$ thuộc tia $Oy$ và $A^{\prime }$ thuộc tia $Oz$, khi đó ta có $A\left(0;0;0\right)$ và $B\left(2,0,0\right)$.

Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}$ suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}$. Tọa độ của $D$ là $\left(0;2;0\right)$.

Có $\overrightarrow{AB}=\left(2;0;0\right)$, $\overrightarrow{BD}=\left(-2;2;0\right)$ do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=-4$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Giải bài 2.37 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian , cho ba điểm , , . Tọa độ trọng tâm của tam giác là

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Đáp án: B.

Tọa độ trọng tâm của tam giác là .

Vậy chọn đáp án B.

Giải bài 2.38 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(3;0;-6\right)$. Gọi $B$ là điểm nằm giữa $O$ và $A$ sao cho $OB=\frac{1}{3}OA$. Tọa độ của điểm $B$ là

A. $\left(1;0;-2\right)$

B. $\left(9;0;-18\right)$

C. $\left(1;0;2\right)$

D. $\left(9;0;18\right)$

Lời giải chi tiết

Đáp án: A.

Giả thiết suy ra $\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$. Ta có $\overrightarrow{OB}=\left(x_B;y_B;z_B\right)$ và $\overrightarrow{OA}=\left(3;0;-6\right)$ do đó $\{\begin{array}{c}{x}_B=\frac{1}{3}\cdot 3=1\\ y_B=0\\ z_B=\frac{1}{3}\cdot \left(-6\right)=-2\end{array}$

Suy ra $B\left(1;0;-2\right)$. Vậy chọn đáp án A.

Giải bài 2.39 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian , cho và . Tích vô hướng bằng

A. 54

B. -3 

C. -6

D. 45

Lời giải chi tiết

Ta có

.

Vậy chọn đáp án D.

Giải bài 2.40 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian , cho điểm . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Điểm nằm trên mặt phẳng

B. Khoảng cách từ điểm đến trục bằng 1

C. Điểm nằm trên trục

D. Khoảng cách từ đến bằng 2

Lời giải chi tiết

Đáp án: C.

Ta thấy điểm chỉ có cao độ bằng 0 do đó thuộc mặt phẳng và không nằm trên trục nào trong ba trục , do đó ta có thể kết luận được ngay là đáp án C là sai. Vậy ta chọn C.

Giải bài 2.41 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian , cho hai điểm và . Biết rằng , tập các giá trị của là

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Ta có .

Mà suy ra hoặc .

Vậy , ta chọn đáp án C.

Giải bài 2.42 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình tứ diện , chứng minh rằng:

.

Lời giải chi tiết

Giải bài 2.43 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ tạo với nhau một góc bằng ${60}^{\circ }$. Biết $\left|\overrightarrow{a}\right|=2$ và $\left|\overrightarrow{b}\right|=3$, tính $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$ và $\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$.

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos {60}^{\circ }=2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=3$. Ta bình phương $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|$ và $\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$ để tìm giá trị của chúng như sau:

${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2=4+6+9=19$ suy ra $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{19}$.

${\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2=4-6+9=7$ suy ra $\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{7}$.

Giải bài 2.44 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian , cho ba vectơ , và . Tính tọa độ của các vectơ sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có  suy ra .

b) Ta có  suy ra .

Giải bài 2.45 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình tứ diện $ABCD$ có ba cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB=3,AC=4,$

$AD=6$. Xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với đỉnh $A$ và các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các tia $AB,AC,AD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABD$ và $ACD$.

a) Tìm tọa độ của các đỉnh $B,C,D$.

b) Tìm tọa độ của các điểm $E,F$.

c) Chứng minh rằng $AD$ vuông góc với $EF$.

Lời giải chi tiết

a) Từ cách lập hệ trục tọa độ của đề bài ta có $B\left(3;0;0\right)$, $C\left(0;4;0\right)$ và $D\left(0;0;6\right)$.

b) Ta có .

Xét tam giác , tọa độ trọng tâm là .

Xét tam giác , tọa độ trọng tâm là .

c) Ta có và suy ra . Do đó vuông góc với .

Giải bài 2.46 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian , cho hai điểm và .

a) Tính côsin của góc theo .

b) Xác định tất cả các giá trị của để là góc nhọn.

Lời giải chi tiết

a) Ta có và .

Mặt khác , suy ra

.

b) Để là góc nhọn thì , suy ra

hoặc .

Giải bài 2.47 trang 57 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trên phần mềm GeoGebra 3D với các trục tọa độ được dựng sẵn, bạn Minh vẽ hai hình hộp chữ nhật với một số cạnh đặt dọc theo các trục tọa độ. Ba đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ nhất lần lượt là , , . Biết hình hộp thứ hai ở vị trí cao hơn hình hộp thứ nhất là 5 đơn vị, xác định tọa độ của các đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ hai.

Lời giải chi tiết

Vì hình hộp thứ hai nằm ngay phía trên hình hộp thứ nhất và cách hình hộp thứ nhất 5 đơn vị nên cùng hướng với và có độ dài là 5.

Suy ra do đó , và .

Giải bài 2.48 trang 58 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một chiếc gậy có chiều dài 2,5 m được đặt trong góc phòng như hình sau đây. Một đầu của chiếc gậy nằm trên sàn nhà, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 0,8 m. Đầu còn lại của chiếc gậy nằm trên mép tường.

 

a) Hãy lập một hệ tọa độ $Oxyz$ phù hợp và tìm tọa độ của đầu gậy nằm trên sàn nhà.

b) Tính khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà.

Lời giải chi tiết

a) Ta lập hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:

 

Suy ra đầu gậy trên sàn nhà có tọa độ là $\left(1;0,8;0\right)$.

b) Ta thấy đầu gậy trên mép tường là một điểm thuộc tia $Oz$ nên ta có thể sử điểm đó có tọa là $\left(0;0;a\right)$ với $a>0$ đồng thời cũng có $a$ chính là khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà.

Mặt khác chiếc gậy có chiều dài 2,5 m, do đó ta có

.

Vậy khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà m.