Bài tập cuối chương 2 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3).

a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Để chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác, ta kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không. Tính các vectơ $- - \to A B$ và , sau đó tính tích vô hướng . Nếu tích vô hướng bằng tích độ dài của hai vectơ, tức là , thì ba điểm thẳng hàng; ngược lại, chúng tạo thành một tam giác.

b) Trọng tâm G của tam giác ABC được xác định bằng công thức:

c) Điểm D được xác định bằng cách sử dụng tính chất của hình bình hành: Tọa độ của tâm I của hình bình hành ABCD là trung điểm của hai đường chéo, và chu vi hình bình hành là 2(AB + BC).

Lời giải chi tiết

a) Tính các vectơ:

Tích vô hướng:

Độ dài của các vectơ:

So sánh:

Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tạo thành một tam giác.

b) Tọa độ trọng tâm :

c) Điểm D thỏa mãn , tức là , nên tọa độ D sẽ là:

Tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD :

Chu vi hình bình hành ABCD :

Giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B, D, A’ tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz và AB = 1, AD = 2, AA’ = 3.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp.

b) Tìm điểm E trên đường thẳng DD’ sao cho $B^{'} E ⊥ A^{'} C^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng thông tin về các cạnh của hình hộp để xác định tọa độ của các đỉnh.

b) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng DD’ và B’E. Sử dụng điều kiện $B^{'} E ⊥ A^{'} C^{'}$ để thiết lập phương trình và giải tìm tọa độ của E.

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật là:

- A trùng với gốc tọa độ, tức A(0; 0; 0) .

- B thuộc tia Ox , nên B(1; 0; 0) (vì AB = 1 ).

- D thuộc tia Oy , nên D(0; 2; 0) (vì AD = 2 ).

- A’ thuộc tia Oz , nên A’(0; 0; 3) (vì AA’ = 3 ).

Các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật:

- C đối với A qua BD , tọa độ là C(1; 2; 0) .

- B’ đối với A qua A’C , tọa độ là B’(1; 0; 3) .

- D’ đối với A qua A’D , tọa độ là D’(0; 2; 3) .

- C’ đối với A qua B’D , tọa độ là C’(1; 2; 3) .

b) Tọa độ của điểm E trên đường thẳng DD’ :

- Đường thẳng DD’ có phương trình dạng:

$x = 0, y = 2, z = t .$ với t là tham số.

Tọa độ của E là E(0; 2; t) . Để $B^{'} E ⊥ A^{'} C$ , cần:

$- - \to B^{'} E \cdot - - \to A^{'} C = 0$

Tính các vectơ:

$- - \to B^{'} E = (0 - 1; 2 - 0; t - 3) = (- 1; 2; t - 3)$

$- - \to A^{'} C = (1 - 0; 2 - 0; 0 - 3) = (1; 2; - 3)$

Điều kiện vuông góc:

$- - \to B E \cdot - - \to A^{'} C = (- 1) \times 1 + 2 \times 2 + (t - 3) \times (- 3) = - 1 + 4 - 3 t + 9 = 0$

Giải phương trình này:

Vậy tọa độ của E là E(0; 2; 4) .

Giải bài tập 2.26 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(2; -1; 1). Tính góc giữa hai vectơ và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính tích vô hướng giữa hai vectơ và , sau đó sử dụng công thức:

Lời giải chi tiết

Tính vectơ:

Tích vô hướng:

Độ dài của các vectơ:

Góc giữa hai vectơ:

Giải bài tập 2.27 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

a) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương OABC.O’A’B’C’ với O(0;0;1), A(1;0;0), C(0;1;0) (Hình 2.45). G là trung điểm của đường chéo OB’ của hình lập phương.

- Chứng minh rằng ACO’B’ là một tứ diện đều.

- Tìm toạ độ các điểm B’ và G. Chứng minh rằng . Điểm G được gọi là trọng tâm của tứ diện đều ACO’B’.

b) Methane là một chất khí và là nguồn nguyên liệu quan trọng trong đời sống cũng như trong công nghiệp. Công thức phân tử của methane là . Mỗi phân tử được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen H và một nguyên tử carbon . Trong cấu tạo của phân tử methane, bốn nguyên tử hydrogen tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện đều và nguyên tử carbon ở vị trí trọng tâm của tứ diện đó (Hình 2.46). Người ta gọi góc liên kết là góc tạo bởi liên kết . Đó là góc có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối nguyên tử C với hai trong bốn nguyên tử H , chẳng hạn như (nguồn: https://www.worldatlas.com/space/why-methane-can-be-a-sign-of-life-outside-of-earth.html). Để tính góc liên kết trong phân tử methane, người ta chọn hệ trục toạ độ mà các nguyên tử hydrogen lẩn lượt nằm ở các vị trí , (Hình 2.47). Tính số đo của góc liên kết (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng khái niệm của một tứ diện đều là các cạnh của nó bằng nhau.

- Tìm toạ độ của các điểm và vectơ cần thiết, sau đó áp dụng biểu thức toạ độ của tổng các vectơ để chứng minh.

- Sử dụng biểu thức đã được chứng minh ở câu a để tìm toạ độ của C.

- Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ để tìm góc liên kết

Lời giải chi tiết

- Vì OABC.O’A’B’C’ là hình lập phương nên đường chéo của các mặt bên đều bằng nhau. Vậy ta có

- Ta thấy tất cả các cạnh của tứ diện ACO’B’ đều có độ dài bằng . Do đó, tứ diện ACO’B’ là tứ diện đều.

- Điểm B’ đối diện với điểm O qua hình lập phương, do đó tọa độ của B’ sẽ là:

- Trung điểm G của đường chéo OB’:

- Tính các vectơ:

- Cộng các vectơ:

- Vậy .

- Đặt toạ độ của C là

- Vì C là trọng tâm của tứ diện đều , áp dụng biểu thức đã chứng minh ở câu a, ta có:

- Thay các giá trị vào, ta được:

- Vậy toạ độ của C là

- Toạ độ của vectơ và là:

- Tích vô hướng của và :

- Độ dài của và là:

- Số đo của góc liên kết là:

Vậy góc liên kết xấp xỉ .

Giải bài tập 2.28 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, lực không đổi làm di chuyển một vật dọc theo đoạn thẳng từ đến . Tìm công sinh ra nếu khoảng cách được tính bằng mét và lực được tính bằng newton.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng biểu thức toạ độ của hiệu các vectơ.

- Công sinh ra bởi lực không đổi khi di chuyển vật dọc theo vectơ được tính bằng tích vô hướng của lực và vectơ di chuyển:

Lời giải chi tiết

Vectơ di chuyển từ điểm M(1, 0, 2) đến điểm N(5, 3, 8) được tính bằng hiệu của hai tọa độ điểm:

Công sinh ra bởi lực không đổi khi di chuyển vật dọc theo vectơ được tính bằng tích vô hướng của lực và vectơ di chuyển:

Tính tích vô hướng:

Công sinh ra bởi lực khi di chuyển từ M đến N là 87 joules (J).

Giải bài tập 2.29 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, một máy bay đang bay ở vị trí A(250;465;15) với tốc độ thì vào một vùng có gió với tốc độ (đơn vị tốc độ là km/giờ. Máy bay bay vùng gió này mất 30 phút. Tìm vị trí của máy bay sau 30 phút đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính vectơ vận tốc tổng hợp của máy bay.

- Tính quãng đường di chuyển trong 30 phút.

- Tính vị trí mới của máy bay.

Lời giải chi tiết

Vectơ vận tốc tổng hợp của máy bay khi bay trong vùng gió là tổng của vectơ vận tốc của máy bay và vectơ vận tốc của gió:

km/giờ

30 phút tương đương với giờ. Do đó, quãng đường di chuyển có thể tính bằng cách nhân vectơ vận tốc tổng hợp với thời gian:

Vị trí mới của máy bay được tính bằng cách cộng vectơ di chuyển với tọa độ vị trí ban đầu của máy bay:

Vị trí mới = Vị trí ban đầu +

Vị trí mới = (250 + 246, 465 + 304, 15 + 112)

Vị trí mới = (496, 769, 127)

Vậy vị trí của máy bay sau 30 phút bay trong vùng gió là (496, 769, 127).

Giải bài tập 2.30 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Khi đó, vectơ bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng phép trừ 2 vectơ.

Lời giải chi tiết

Chọn C.

Giải bài tập 2.31 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình hộp . Khi đó, vectơ bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết

Chọn B.

Giải bài tập 2.32 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hai vectơ . Toạ độ của vectơ là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng biểu thức toạ độ của tổng hai vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ thì

Lời giải chi tiết

Chọn C.

Giải bài tập 2.33 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho ba điểm $A (3; 5; 2), B (2; 2; 1), C (1; - 1; 4)$ . Toạ độ của vectơ $- - \to A B + - - \to A C$ là

A. $(3; 9; 1)$ .

B. $(- 3; - 9; 1)$ .

C. $(6; 6; 7)$ .

D. $(1; 3; - 3)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm toạ độ của hai vectơ $- - \to A B, - - \to A C$

- Áp dụng biểu thức toạ độ của tổng các vectơ để tính $- - \to A B + - - \to A C$ .

Lời giải chi tiết

Tọa độ của $- - \to A B + - - \to A C$ là:

$- - \to A B = B - A = (2 - 3; 2 - 5; 1 - 2) = (- 1; - 3; - 1)$

$- - \to A C = C - A = (1 - 3; - 1 - 5; 4 - 2) = (- 2; - 6; 2)$

$- - \to A B + - - \to A C = (- 1 - 2; - 3 - 6; - 1 + 2) = (- 3; - 9; 1)$

Chọn B.

Giải bài tập 2.34 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương có , . là trung điểm đoạn . Toạ độ của là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng trong không gian: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm và thì tọa độ của M là:

Lời giải chi tiết

- Toạ độ của C là (0;a;0), O’ là (0;0;a) thì toạ độ của C’ sẽ là (0;a;a).

- Toạ độ của M là :

Chọn C.

Giải bài tập 2.35 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho ba điểm . Trọng tâm của tam giác ABC là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức trọng tâm tam giác trong không gian: Nếu là trọng tâm của tam giác có các đỉnh , , thì tọa độ của là:

Lời giải chi tiết

Tọa độ của là:

Chọn D.

Giải bài tập 2.36 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tam giác ABC có . Độ dài đường trung tuyến AM là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đầu tiên, tính tọa độ trung điểm của cạnh BC:

- Sau đó, tính độ dài đoạn AM bằng công thức:

Lời giải chi tiết

- Tọa độ trung điểm của BC là:

- Độ dài AM:

Chọn D.

Giải bài tập 2.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho ba lực lần lượt có cường độ được đặt vào chất điểm . Biết rằng góc tạo bởi hai lực bất kỳ trong ba lực đều bằng . Cường độ của hợp lực tác dụng lên là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng định lý cosin cho tam giác tạo bởi ba vectơ lực:

- Định lý cosin:

Lời giải chi tiết

Cường độ của hợp lực:

Chọn D.

Giải bài tập 2.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tích vô hướng của hai vectơ và bằng:

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tích vô hướng:

Lời giải chi tiết

Tích vô hướng của và :

Chọn C.

Giải bài tập 2.39 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Nếu , thì bằng:

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức cosin giữa hai vectơ: , trong đó: và .

Lời giải chi tiết

- Tính tích vô hướng của và :

- Tính độ lớn của và :

- Tính :

Chọn A.

Giải bài tập 2.40 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Hình bình hành ABCD có $A (1; 0; 3)$ , $B (2; 3; - 4)$ , $C (- 3; 1; 2)$ . Tọa độ điểm $D$ là:

A. $(- 4; - 2; 9)$ .

B. $(2; - 4; 5)$ .

C. $(- 2; 4; - 5)$ .

D. $(4; 2; - 9)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng tính chất của hình bình hành: Vectơ $- - \to A B = - - \to D C$ hoặc $- - \to A D = - - \to B C$ .

- Tính tọa độ của điểm $D$ bằng cách sử dụng tọa độ các điểm đã cho.

Lời giải chi tiết

- Tính tọa độ vectơ $- - \to A B$ :

$- - \to A B = (2 - 1; 3 - 0; - 4 - 3) = (1; 3; - 7)$

- Tính tọa độ vectơ $- - \to D C$ :

$- - \to D C = (- 3 - x_{D}; 1 - y_{D}; 2 - z_{D})$

- Bằng cách áp dụng $- - \to A B = - - \to C D$ , ta có:

$(x_{D} + 3, y_{D} - 1, z_{D} - 2) = (1, 3, - 7)$

- Giải hệ phương trình:

$- 3 - x_{D} = 1 \Rightarrow x_{D} = - 4$

$1 - y_{D} = 3 \Rightarrow y_{D} = - 2$

$2 - z_{D} = - 7 \Rightarrow z_{D} = 9$

- Tọa độ điểm $D$ là $(- 4; - 2; 9)$ .

Chọn A.

Thử sức kiểm tra kiến thức

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.

✓ Chấm điểm ngay✓ Lời giải chi tiết✓ 100% Miễn phí

Luyện trắc nghiệm ngay

Ứng dụng di động

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!

✓ Chấm điểm tức thì✓ Tích điểm & thăng hạng✓ Luyện tập mọi lúc mọi nơi