Bài tập cuối chương 3

Giải bài 3.10 trang 67 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của 20 thiết bị điện tử như sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. 2

B. 6

C. 8

D. 10

Lời giải chi tiết

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R_n=10-2=8$.

Vậy ta chọn C.

Giải bài 3.11 trang 67 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của 20 thiết bị điện tử như sau:

Khoảng tứ phân vị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. 2,68.

B. 4,75.

C. 6,00.

D. 7,43.

Lời giải chi tiết

Đáp án: A.

Cỡ mẫu là $n=20$.

Vị trí của $Q_1$ là $\frac{n}{4}=5$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[4;6\right)$.

Ta có $Q_1=4+\frac{\frac{1\cdot 20}{4}-2}{8}\cdot 2=4,75$.

Tương tự  có vị trí của $Q_3$ là $\frac{3n}{4}=15$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\left[6;8\right)$.

Do đó $Q_3=6+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-10}{7}\cdot 2=\frac{52}{7}$.

Suy ra khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{52}{7}-4,75=\frac{75}{28}\approx 2,68$.

Vậy ta chọn đáp án A.

Giải bài 3.12 trang 67 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của 20 thiết bị điện tử như sau:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. 1,99.

B. 2,99.

C. 3,99.

D. 4,99.

Lời giải chi tiết

Đáp án: B.

Cỡ mẫu là $n=20$.

Chọn giá trị đại diện cho mỗi nhóm số liệu, ta có bảng sau:

Tuổi thọ trung bình của các thiết bị điện tử là $\overline{x}=\frac{3\cdot 2+5\cdot 8+7\cdot 7+9\cdot 3}{20}=6,1$ (năm).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $\frac{1}{20}\left(3^2\cdot 2+5^2\cdot 8+7^2\cdot 7+9^2\cdot 3\right)-6,1^2=2,99$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Giải bài 3.13 trang 67 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của 20 thiết bị điện tử như sau:

Nếu thay các nhóm tương ứng bằng $\left[3;5\right),\left[5;7\right),\left[7;9\right),\left[9;11\right)$ thì khoảng biến thiên sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.

B. Giảm.

C. Không thay đổi.

Lời giải chi tiết

Đáp án: C.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là . Do đó khoảng biến thiên không thay đổi.

Vậy ta chọn C.

Giải bài 3.15 trang 67 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của 20 thiết bị điện tử như sau:

Nếu thay các nhóm tương ứng bằng $\left[3;5\right),\left[5;7\right),\left[7;9\right),\left[9;11\right)$ thì độ lệch chuẩn sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.

B. Giảm.

C. Không thay đổi.

Lời giải chi tiết

Đáp án: C.

Chọn giá trị đại diện cho mỗi nhóm số liệu, ta có bảng sau:

Tuổi thọ trung bình của các thiết bị điện tử là $\overline{x}=\frac{4\cdot 2+6\cdot 8+8\cdot 7+10\cdot 3}{20}=7,1$ (năm).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $\frac{1}{20}\left(4^2\cdot 2+6^2\cdot 8+8^2\cdot 7+{10}^2\cdot 3\right)-7,1^2=2,99$.

Suy ra phương sai không thay đổi do đó độ lệch chuẩn không đổi.

Vậy ta chọn đáp án C.

Giải bài 3.16 trang 67 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của 20 thiết bị điện tử như sau:

Nếu thay các tần số tương ứng bằng 1, 9, 9, 1 thì khoảng biến thiên sẽ thay đổi như thế nào?

A. Tăng.

B. Giảm.

C. Không thay đổi.

Lời giải chi tiết

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm sẽ không thay đổi vì nó không phụ thuộc vào tần số.

Vậy ta chọn đáp án C.

Giải bài 3.17 trang 67 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của 20 thiết bị điện tử như sau:

Nếu thay các tần số tương ứng bằng 1, 9, 9, 1 thì độ lệch chuẩn sẽ thay đổi như thế nào?

A. Tăng.

B. Giảm.

C. Không thay đổi.

Lời giải chi tiết

Đáp án: B.

Chọn giá trị đại diện cho mỗi nhóm số liệu, ta có bảng sau:

Tuổi thọ trung bình của các thiết bị điện tử là (năm).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Suy ra phương sai giảm do đó độ lệch chuẩn cũng giảm.

Vậy ta chọn đáp án B.

Giải bài 3.18 trang 67 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm sau cho biết phân bố về khối lượng của 200 bao xi măng trước khi xuất xưởng:

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu về khối lượng của 200 bao xi măng trên.

b) Tính khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a.

Lời giải chi tiết

a) Từ biểu đồ, ta lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu về khối lượng của 200 bao xi măng  như sau ( với tần số-số bao xi măng được bằng tổng số bao xi măng là 200 nhân với tỉ lệ phần trăm tương ứng của từng cột trên biểu đồ):

b) Cỡ mẫu là .

Vị trí của là suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là .

Ta có .

Tương tự  có vị trí của là suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là . Do đó .

Suy ra khoảng tứ phân vị là .

Giải bài 3.19 trang 68 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Bảng thống kê sau cho biết dân số thế giới theo độ tuổi (đơn vị tính là triệu người) trong hai năm 2000 và 2020:

a) Chọn 75 là đại diện cho nhóm 65 tuổi trở lên. Hãy ước lượng tuổi trung bình của dân số thế giới trong hai năm 2000 và 2020.

b) Tìm khoảng tứ phân vị cho tuổi của dân số thế giới trong hai năm 2000 và 2020. Nêu nhận xét về sự thay đổi cấu trúc dân số theo độ tuổi.

Lời giải chi tiết

a) Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

+ Xét mẫu số liệu dân số thế giới theo độ tuổi trong năm 2000:

Cỡ mẫu là \(n = 619,57 + 1240 + 1090 + 2780 + 423,26 = 6152,83\).

 Tuổi trung bình của dân số thế giới trong năm 2000 là

\(\begin{array}{l}\overline {{x_{2000}}}  = \frac{1}{n}\left( {2,5 \cdot 619,57 + 10 \cdot 1240 + 20 \cdot 1090 + 45 \cdot 2780 + 423,26 \cdot 75} \right)\\ = \frac{1}{n}\left( {1548,925 + 12400 + 21800 + 125100 + 31744,5} \right) = \frac{{192593,425}}{{6152,83}} \approx 31,3016.\end{array}\)

+ Xét mẫu số liệu dân số thế giới theo độ tuổi trong năm 2020:

Cỡ mẫu là \(n = 679,15 + 1330 + 1220 + 3870 + 739,48 = 7838,63\).

 Tuổi trung bình của dân số thế giới trong năm 2020 là

\(\begin{array}{l}\overline {{x_{2020}}}  = \frac{1}{n}\left( {2,5 \cdot 679,15 + 10 \cdot 1330 + 20 \cdot 1220 + 45 \cdot 3870 + 739,48 \cdot 75} \right)\\ = \frac{1}{n}\left( {1697,875 + 13300 + 24400 + 174150 + 55461} \right) = \frac{{269008,875}}{{7838,63}} \approx 34,3184.\end{array}\)

b) + Xét mẫu số liệu dân số thế giới theo độ tuổi trong năm 2000:

Cỡ mẫu là \(n = 6152,83\).

Vị trí của \({Q_1}\) là \(\frac{n}{4} = 1538,2075\) suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {5;15} \right)\).

Ta có \({Q_1} = 5 + \frac{{1538,2075 - 619,57}}{{1240}} \cdot 10 \approx 12,4084\).

Tương tự  có vị trí của \({Q_3}\) là \(\frac{{3n}}{4} = 4614,6225\) suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là \(\left[ {25;65} \right)\)Do đó \({Q_3} = 25 + \frac{{4614,6225 - \left( {619,57 + 1240 + 1090} \right)}}{{2780}} \cdot 40 = 48,9576\).

Suy ra khoảng tứ phân vị là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 48,9576 - 12,4084 = 36,5492\).

+ Xét mẫu số liệu dân số thế giới theo độ tuổi trong năm 2020:

Cỡ mẫu là \(n = 7838,63\).

Vị trí của \({Q_1}\) là \(\frac{n}{4} = 1959,6575\) suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \(\left[ {5;15} \right)\).

Ta có \({Q_1} = 5 + \frac{{1959,6575 - 679,15}}{{1330}} \cdot 10 \approx 14,6279\).

Tương tự  có vị trí của \({Q_3}\) là \(\frac{{3n}}{4} = 5878,9725\) suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là \(\left[ {25;65} \right)\)Do đó \({Q_3} = 25 + \frac{{5878,9725 - \left( {679,15 + 1330 + 1220} \right)}}{{3870}} \cdot 40 = 52,3883\).

Suy ra khoảng tứ phân vị là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 52,3883 - 14,6279 = 37,7604\).

Ta thấy, từ năm 2000 đến năm 2020 tuổi trung bình của dân số thế giới đã tăng từ \(31,3016\) đến \(34,3184\), điều này phản ánh sự già hóa của dân số, dân số thế giới năm 2020 già hơn. Ngoài ra, dân số thế giới năm 2020 có độ tuổi phân tán hơn so với dân số thế giới năm 2000.

Giải bài 3.20 trang 68 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Thống kê cân nặng của một số trẻ sơ sinh tại một bệnh viện cho kết quả như sau:

Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm trên. Các giá trị này cho biết điều gì?

Lời giải chi tiết

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là .

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là .

Vị trí của là suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là .

Ta có .

Tương tự  có vị trí của là suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là Do đó .

Suy ra khoảng tứ phân vị là .

Khoảng biến thiên cho thấy sự chênh lệch tổng thể giữa cân nặng lớn nhất và cân nặng nhỏ nhất của trẻ sơ sinh là 1,5 kg.

Khoảng tứ phân vị cho thấy sự phân tán của 50% dữ liệu giữa các tứ phân vị thứ nhất và thứ ba là 0,618 kg nghĩa là cân nặng của hầu hết trẻ sơ sinh nằm trong khoảng này.

Cả hai giá trị cho thấy phân phối cân nặng của trẻ sơ sinh có sự phân tán vừa phải.

Giải bài 3.21 trang 69 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Để đánh giá độ chính xác của hai hệ thống đóng gói tự động các túi cà phê của hai phân xưởng người ta tiến hành thu nhập mẫu số liệu về khối lượng của một số gói cà phê (đơn vị tính bằng gam) của mỗi phân xưởng cho kết quả như sau:

Phân xưởng A: 203, 207, 205, 197, 208, 192, 206 , 202, 200, 196, 195, 194, 203, 197, 193, 199, 198, 195, 206, 204.

Phân xưởng B:

Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của khối lượng một gói cà phê do các phân xưởng A, B sản xuất. Dựa trên kết quả tính được, hãy nêu nhận xét về độ chính xác của hai hệ thống đóng gói.

Lời giải chi tiết

+ Xét mẫu số liệu về khối lượng các gói cà phê của hệ thống A:

Cỡ mẫu là $n=20$. Giá trị trung bình của mẫu là

$\overline{x_A}=\left(\begin{array}{c}203+207+205+197+208+192+206+202+200+196\\ +195+194+203+197+193+199+198+195+206+204\end{array}\right)÷2=\frac{4000}{20}=200$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

                         .

+ Xét mẫu số liệu về khối lượng các gói cà phê của hệ thống B:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là .

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

.

Từ các kết quả tính được, ta thấy giá trị trung bình của hai mẫu số liệu giống nhau nhưng có sự khác biệt về độ lệch chuẩn. Độ lệch chuẩn của khối lượng một gói cà phê do phân xưởng B sản xuất khoảng g  nhỏ hơn độ lệch chuẩn phân xưởng A sản xuất với hay dữ liệu khối lượng các gói cà phê của phân xưởng A phân tán hơn phân xưởng B. Vậy hệ thống đóng gói tự động của phân xưởng B tốt hơn phân xưởng A.

Giải bài 3.22 trang 69 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một người đầu tư cùng một số tiền vào hai lĩnh vực A và B. Nhà đầu tư này ghi lại số tiền thu được hằng tháng trong hai năm theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau:

Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về mức độ ổn định của số tiền thu được hằng tháng khi đầu tư vào hai lĩnh vực trên.

Lời giải chi tiết

+ Xét mẫu số liệu về số tiền thu được hằng tháng trong hai năm theo lĩnh vực A:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là .

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

+ Xét mẫu số liệu về số tiền thu được hằng tháng trong hai năm theo lĩnh vực A:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là .

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

Ta có và . Suy ra giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu giống nhau. Do độ lệch chuẩn bằng nhau nên mức độ ổn định của hai phương án đầu tư là như nhau.

Giải bài 3.14 trang 67 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của 20 thiết bị điện tử như sau:

Nếu thay các nhóm tương ứng bằng thì khoảng tứ phân vị sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng.

B. Giảm.

C. Không thay đổi.

Lời giải chi tiết

Đáp án: C.

Vị trí của là suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là .

Ta có .

Tương tự  có vị trí của là suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là .

Do đó .

Suy ra khoảng tứ phân vị là . Do đó khoảng tứ phân không đổi. Vậy ta chọn đáp án C.