Bài tập cuối chương 3 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 3.10 trang 104 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Chiều cao của 500 học sinh một trường trung học cơ sở được thống kê trong Bảng 3.25.

a) Tính khoảng tứ phân vị, trung bình và độ lệch chuẩn chiều cao của 500 học sinh.

b) Kết quả tìm được cho biết điều gì về chiều cao của 500 học sinh này?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)

- Công thức tìm tứ phân vị:

- Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa và , ký hiệu là:

- Công thức tính trung bình là:

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

b)

Trung bình: Cho biết giá trị trung bình chiều cao của 500 học sinh. Nếu trung bình cao, có thể suy ra rằng chiều cao của nhóm này nói chung là cao.

Độ lệch chuẩn: Cho biết mức độ phân tán của các chiều cao xung quanh giá trị trung bình. Nếu độ lệch chuẩn lớn, điều đó có nghĩa là chiều cao của các học sinh rất khác nhau. Ngược lại, độ lệch chuẩn nhỏ cho thấy chiều cao của học sinh khá đồng đều.

Khoảng tứ phân vị: Giúp xác định sự phân tán của phần lớn dữ liệu (tức là 50% giữa). Nếu khoảng tứ phân vị nhỏ, điều đó cho thấy rằng phần lớn học sinh có chiều cao gần nhau. Nếu khoảng tứ phân vị lớn, điều đó chỉ ra rằng có sự khác biệt lớn về chiều cao giữa các học sinh.

Lời giải chi tiết

a)

Tứ phân vị:

- rơi vào nhóm [158; 162)

- rơi vào nhóm [162; 166)

Khoảng tứ phân vị:

Chiều cao trung bình:

Độ lệch chuẩn chiều cao của 500 học sinh:

- Tính :

- Tính độ lệch chuẩn

cm

b) Nhận xét về chiều cao của 500 học sinh:

Trung bình chiều cao là 161.4 cm, cho thấy chiều cao trung bình của nhóm học sinh này rơi vào khoảng giữa của dãy chiều cao đã cho.

Độ lệch chuẩn là 3.85 cm, điều này cho thấy có sự phân tán tương đối nhỏ về chiều cao giữa các học sinh. Phần lớn học sinh có chiều cao gần với giá trị trung bình.

Như vậy, các giá trị tứ phân vị cho thấy rằng 25% học sinh có chiều cao dưới 159 cm và 75% học sinh có chiều cao dưới 164.29 cm, với sự phân tán khoảng 5.29 cm giữa và .

Giải bài tập 3.11 trang 104 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một trang trại phân 1000 quả trứng thành 5 loại, tuỳ theo khối lượng (đã được làm tròn) của chúng (Bảng 3.26).

a) Ước tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của khối lượng những quả trứng này (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

b) Hãy phân tích sự đồng đều về khối lượng các quả trứng của trang trại.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng các công thức sau:

- Khoảng biến thiên là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong tập dữ liệu.

- Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa $Q_{3}$ và $Q_{1}$ , ký hiệu là: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ với công thức tính tứ phân vị là:

$Q_{x} = L + (\frac{n_{x} - F}{f}) \times h$

- Công thức tính trung bình là:

- Công thức tính phương sai:

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

b)

Khoảng biến thiên (R): Nếu khoảng biến thiên nhỏ, điều đó cho thấy sự khác biệt về khối lượng giữa quả trứng lớn nhất và nhỏ nhất là nhỏ, tức là các quả trứng có khối lượng khá đồng đều.

Khoảng tứ phân vị (): nhỏ cho thấy 50% giữa của các quả trứng có khối lượng gần nhau, điều này cũng chỉ ra sự đồng đều về khối lượng.

Phương sai và độ lệch chuẩn: Phương sai và độ lệch chuẩn nhỏ cho thấy các giá trị khối lượng của quả trứng không phân tán nhiều so với giá trị trung bình, nghĩa là khối lượng các quả trứng khá đồng đều.

Lời giải chi tiết

Khoảng biến thiên là chênh lệch giữa giá trị khối lượng lớn nhất và nhỏ nhất:

R = Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất = 60 – 30 = 30

Tính tứ phân vị

- rơi vào nhóm [42; 48)

- rơi vào nhóm [48; 54)

Khoảng tứ phân vị:

Giá trị trung bình:

Phương sai:

Độ lệch chuẩn của khối lượng những quả trứng này:

b)

Khoảng biến thiên: 30g cho thấy sự khác biệt lớn giữa quả trứng nhẹ nhất và nặng nhất, nhưng điều này không phản ánh toàn bộ sự đồng đều của dữ liệu.

Khoảng tứ phân vị: 6.18g, cho thấy rằng 50% quả trứng giữa có khối lượng rất gần nhau, trong khoảng từ 42.18g đến 48.36g. Điều này cho thấy sự phân tán không quá lớn trong số lượng lớn các quả trứng.

Phương sai và độ lệch chuẩn: Với phương sai là 24,48g và độ lệch chuẩn là 4,95g, có thể thấy rằng có một số sự phân tán trong khối lượng trứng, nhưng không quá lớn, cho thấy khối lượng các quả trứng trong trang trại là khá đồng đều.

Giải bài tập 3.12 trang 104 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Hàm lượng protein (trong 100g) của một số loại thực phẩm được cho trong bảng sau:

a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

b) Nêu ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng các công thức sau:

- Khoảng biến thiên là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong tập dữ liệu.

- Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa $Q_{3}$ và $Q_{1}$ , ký hiệu là: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ với công thức tính tứ phân vị là:

$Q_{x} = L + (\frac{n_{x} - F}{f}) \times h$

- Công thức tính trung bình là:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} (x_{i} n_{i})}{N}$

- Công thức tính phương sai:

$S^{2} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{k} n_{i} (c_{i} - \bar{x})^{2}$

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

$S = \sqrt{S^{2}}$

b)

Khoảng biến thiên: Cho biết độ phân tán tổng thể của dữ liệu, tức là khoảng cách giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trong mẫu.

Khoảng tứ phân vị: Phản ánh sự phân tán của dữ liệu ở phần trung tâm, loại bỏ ảnh hưởng của các giá trị cực đoan.

Độ lệch chuẩn: Cung cấp thông tin về mức độ dao động của các giá trị trong mẫu so với giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình.

Lời giải chi tiết

a) Theo bảng, ta có N = 4 + 12 + 16 + 14 + 2 + 2 = 50.

Khoảng biến thiên:

R = Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất = 20 – 8 = 12

Tính tứ phân vị

- $\frac{N}{4} = 12, 5$ rơi vào nhóm [10; 12)

$Q_{1} = 10 + (\frac{12, 5 - 4}{12}) \times 2 = 10 + 1, 42 = 11, 42 g$

- $\frac{3 N}{4} = 37, 5$ rơi vào nhóm [14; 16)

$Q_{3} = 14 + (\frac{37, 5 - 32}{14}) \times 2 = 14 + 0, 79 = 14, 79 g$

Khoảng tứ phân vị:

$Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 14, 79 - 11, 42 = 3, 37 g$

Giá trị trung bình:

$\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{k} f_{i} \times x_{i} = \frac{4 \times 9 + 12 \times 11 + 16 \times 13 + 14 \times 15 + 2 \times 17 + 2 \times 19}{50} \approx 13, 16 g$

Độ lệch chuẩn của khối lượng những quả trứng này:

$S = \sqrt{\frac{1}{50} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} \times {(x_{i} - 12.98)}^{2}}$

$S = \sqrt{\frac{1}{50} [4 \times {(9 - 13.16)}^{2} + 12 \times {(11 - 13.16)}^{2} + 16 \times {(13 - 13.16)}^{2} + 14 \times {(15 - 13.16)}^{2} + 2 \times {(17 - 13.16)}^{2} + 2 \times {(19 - 13.16)}^{2}]}$

$S = \sqrt{\frac{1}{50} \times 270.72} \approx \sqrt{5.41} \approx 2.33$

b) Ý nghĩa của các kết quả tìm được

Khoảng biến thiên (12 gram): Khoảng biến thiên đo lường sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dữ liệu. Với khoảng biến thiên là 12, chúng ta biết rằng hàm lượng protein của các thực phẩm trong mẫu này dao động trong khoảng 12 gram.

Khoảng tứ phân vị (3,37 gram): Dữ liệu tập trung chủ yếu trong khoảng 3,37gram của tứ phân vị thứ nhất và thứ ba, cho thấy sự phân tán trung bình của hàm lượng protein trong các thực phẩm.

Giá trị trung bình cung cấp một ước lượng tổng quát về hàm lượng protein trung bình của các thực phẩm trong mẫu. Với giá trị trung bình là 13.16 gram, chúng ta có thể nói rằng, trung bình, mỗi thực phẩm trong mẫu có hàm lượng protein xấp xỉ 13.16 gram.

Độ lệch chuẩn đo lường mức độ phân tán của các giá trị dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Với độ lệch chuẩn là 2.33 gram, chúng ta biết rằng hàm lượng protein của các thực phẩm trong mẫu có sự phân tán trung bình khoảng 2.33 gram so với giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn nhỏ hơn cho thấy dữ liệu tập trung gần giá trị trung bình, trong khi độ lệch chuẩn lớn hơn cho thấy sự phân tán rộng hơn.

Giải bài tập 3.13 trang 104 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một công ty giống cây trồng đã thử nghiệm hai phương pháp chăm sóc khác nhau cho cây hướng dương. Sau hai tuần, người ta thấy cây được chăm sóc theo cả hai phương pháp đều thấp hơn 50 cm. Hình 3.5a và 3.5b biểu diễn chiều cao của một số cây.

a) Ước tính số trung bình và độ lệch chuẩn của chiều cao các cây được chăm sóc theo mỗi phương pháp.

b) So sánh hiệu quả của các phương pháp trên hai phương diện:

- Chiều cao trung bình của cây.

- Sự đồng đều về chiều cao của cây.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng các công thức sau:

- Công thức tính trung bình:

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

b)

- So sánh giá trị trung bình của hai phương pháp để đánh giá chiều cao trung bình của cây.

- So sánh độ lệch chuẩn của hai phương pháp để đánh giá sự đồng đều về chiều cao của cây.

Lời giải chi tiết

a) Bảng phân phối tần số cho phương pháp A và B:

Dựa vào bảng phân phối ta thấy N = 40

Giá trị trung bình của phương pháp A:

Độ lệch chuẩn của phương pháp A:

Giá trị trung bình của phương pháp B:

Độ lệch chuẩn của phương pháp B:

b)

- Chiều cao trung bình: Cả hai phương pháp có cùng số trung bình là 25 cm, cho thấy rằng chiều cao trung bình của các cây là như nhau trong cả hai phương pháp chăm sóc.

- Sự đồng đều về chiều cao của cây: Phương pháp A có độ lệch chuẩn nhỏ hơn (12.65 cm) so với phương pháp B (17.03 cm), chỉ ra rằng cây trong phương pháp A có sự đồng đều về chiều cao hơn so với cây trong phương pháp B.

Giải bài tập 3.15 trang 106 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Hai bảng dưới đây biểu diễn kết quả đo đường kính (tính theo mm) của một số ổ bi được sản xuất bởi các máy X và Y:

a) Ước tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của đường kính các ổ bi được sản xuất bởi mỗi máy.

b) Biết rằng đường kính mong muốn cho các ổ bi là 30,4 mm. Hãy phân tích chất lượng sản phẩm do mỗi máy sản xuất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng các công thức sau:

- Công thức tính trung bình:

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

b) So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn với giá trị mong muốn (30,4 mm) để đánh giá sự chính xác và độ phân tán của sản phẩm.

Lời giải chi tiết

Bảng phân phối tần số cho máy X và Y:

Dựa vào bảng phân phối ta thấy N = 60.

Giá trị trung bình của máy X:

Độ lệch chuẩn của máy X:

Giá trị trung bình của máy Y:

Độ lệch chuẩn của phương pháp B:

b)

Phân tích chất lượng sản phẩm:

- Máy X: Như đã tính trước đó, giá trị trung bình là 30.27 mm và độ lệch chuẩn là 0.88 mm.

- Máy Y: Với giá trị trung bình mới là 30.55 mm và độ lệch chuẩn là 1.19 mm.

Kết luận:

- Máy X sản xuất sản phẩm có đường kính trung bình gần với giá trị mong muốn hơn (30,27 mm so với 30,4 mm), với độ lệch chuẩn nhỏ hơn, cho thấy sản phẩm đều hơn.

- Máy Y có giá trị trung bình lớn hơn 30,4 mm (30,55 mm), và độ lệch chuẩn cũng lớn hơn, cho thấy sản phẩm có sự biến thiên lớn hơn về kích thước, chất lượng không đồng đều bằng sản phẩm của máy X.

Do đó, sản phẩm của máy X vẫn được đánh giá là có chất lượng tốt hơn so với máy Y.

Giải bài tập 3.16 trang 106 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu cho bởi Bảng 3.30 là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Khoảng biến thiên được tính bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.

Lời giải chi tiết

Trong Bảng 3.30:

Giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng là 1,5.

Giá trị lớn nhất thuộc khoảng 6,5.

Khoảng biến thiên: R = 6,5 – 1,5 = 5.

Chọn D.

Giải bài tập 3.17 trang 106 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Gọi $Δ_{Q}$ là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu cho bởi Bảng 3.30. Khi đó

A. $Δ_{Q} \in [1; 2)$ .

B. $Δ_{Q} \in [2; 3)$ .

C. $Δ_{Q} \in [3; 4)$ .

D. $Δ_{Q} \in [4; 5)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa $Q_{3}$ và $Q_{1}$ , ký hiệu là: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ với công thức tính tứ phân vị là:

$Q_{x} = L + (\frac{n_{x} - F}{f}) \times h$

Lời giải chi tiết

Tính tứ phân vị

- $\frac{N}{4} = 3, 75$ rơi vào nhóm [2,5; 3,5)

$Q_{1} = 2, 5 + (\frac{3, 75 - 2}{3}) \times 1 = 2, 5 + 0, 583 = 3, 083$

- $\frac{3 N}{4} = 11, 25$ rơi vào nhóm [3,5; 4,5)

$Q_{3} = 3, 5 + (\frac{11, 25 - 3}{7}) \times 1 = 3, 5 + 1, 179 = 4, 679$

Khoảng tứ phân vị:

$Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 4, 679 - 3, 083 = 1, 596 \in [1; 2)$

Chọn A.

Giải bài tập 3.18 trang 106 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Phương sai của mẫu số liệu cho bởi bảng 3.30 là

A. .

B. .

C. .

D. .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Lời giải chi tiết

Theo bảng 3.30, ta có N = 15, k = 5.

Chọn D.

Giải bài tập 3.19 trang 106 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Phương sai luôn luôn là số không âm.

B. Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn.

C. Phương sai càng lớn thì độ phân tán của các giá trị quanh số trung bình càng lớn.

D. Phương sai luôn luôn lớn hơn độ lệch chuẩn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào khái niệm phương sai và công thức tính độ lệch chuẩn từ phương sai:

$S = \sqrt {{S^2}} $

Lời giải chi tiết

A: Đúng, phương sai luôn không âm.

B: Đúng, phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn.

C: Đúng, phương sai lớn thì độ phân tán lớn.

D: Sai, vì phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn, nó sẽ nhỏ hơn hoặc bằng độ lệch chuẩn khi nằm trong khoảng [0;1].

Chọn D.

Bài tập cuối chương 3 - Toán 12 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub