Bài tập cuối chương 4 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

b)

c)

Lời giải chi tiết

a)

Nguyên hàm của là:

b)

Áp dụng công thức nửa góc:

Ta có:

c)

Nguyên hàm của là:

.

Giải bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

d)

Lời giải chi tiết

a)

Tính từng tích phân:

Vậy tích phân là:

b)

Tính từng tích phân:

Tích phân là:

c)

Đầu tiên, ta sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức:

Ta tách thành hai phần:

Cuối cùng, kết quả của tích phân là:

d)

Sử dụng tích phân của hàm mũ:

Tính tích phân:

Giải bài tập 4.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) , , , ;

b) , , , .

Lời giải chi tiết

a)

Diện tích được tính bằng tích phân:

Tính nguyên hàm của :

Do đó:

Vậy diện tích cần tìm là:

b)

Ta cần tính tích phân của hiệu giữa hai hàm và trên đoạn . Diện tích là:

Tính nguyên hàm:

Thay cận và :

Vậy diện tích là:

.

Giải bài tập 4.29 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: , , , .

Lời giải chi tiết

Thể tích được tính bằng:

Tính nguyên hàm:

Thay vào:

Vậy thể tích khối tròn xoay là:

.

Giải bài tập 4.30 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trọng lực của Trái Đất tác dụng lên một vệ tinh trong quá trình vệ tinh này được phóng lên từ mặt đất tới vị trí cách tâm Trái Đất \(r\) (m) xác định bởi công thức: \(F(r) = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}\), trong đó: \(M = {6.10^{24}}{\mkern 1mu} {\rm{kg}}\) là khối lượng Trái Đất, \(m\) (kg) là khối lượng vệ tinh và \(G = 6.67 \times {10^{ - 11}}{\mkern 1mu} {\rm{N}}{{\rm{m}}^2}/{\rm{k}}{{\rm{g}}^2}\) là hằng số hấp dẫn. Trọng lực này sinh công \(W = \int_a^b F (h){\mkern 1mu} dh\) (J) khi vệ tinh thay đổi từ cách tâm Trái Đất \(a\) (m) lên vị trí cách tâm Trái Đất \(b\)(m). Tính công tối thiểu để phóng một vệ tinh nặng \(m = 1\,\,000{\mkern 1mu} {\rm{kg}}\) từ mặt đất lên độ cao \(35\,\,780{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) so với mặt đất, biết bán kính Trái Đất là \(6\,\,370{\mkern 1mu} {\rm{km}}\).

Lời giải chi tiết

Công thức tính công thực hiện:

\(M = {6.10^{24}}{\mkern 1mu} {\rm{kg}},\quad m = 1000{\mkern 1mu} {\rm{kg}},\quad G = 6.67 \times {10^{ - 11}}{\mkern 1mu} {\rm{N}}{{\rm{m}}^2}/{\rm{k}}{{\rm{g}}^2}\)

\({R_{{\rm{Earth}}}} = 6\,\,370{\mkern 1mu} {\rm{km}} = 6,37 \times {10^6}{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

Độ cao \(h = 35\,\,780{\mkern 1mu} {\rm{km}} = 3,578 \times {10^7}{\mkern 1mu} {\rm{m}}\).

Tính tích phân:

\(W = GMm\int_{{R_{{\rm{Earth}}}}}^{{R_{{\rm{Earth}}}} + h} {\frac{1}{{{r^2}}}} {\mkern 1mu} dr = GMm\left[ { - \frac{1}{r}} \right]_{{R_{{\rm{Earth}}}}}^{{R_{{\rm{Earth}}}} + h} = GMm\left( {\frac{1}{{{R_{{\rm{Earth}}}}}} - \frac{1}{{{R_{{\rm{Earth}}}} + h}}} \right)\)

\(W = (6.67 \times {10^{ - 11}}) \times ({6.10^{24}}) \times (1000) \times \left( {\frac{1}{{6.37 \times {{10}^6}}} - \frac{1}{{6.37 \times {{10}^6} + 3.578 \times {{10}^7}}}} \right)\)

\(W \approx 5,33 \times {10^{10}}{\mkern 1mu} {\rm{J}}\).

Giải bài tập 4.31 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một ô tô đang chạy với vận tốc thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động với vận tốc , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển thêm một quãng đường dài bao nhiêu mét?

Lời giải chi tiết

Xác định thời gian dừng:

Từ phương trình vận tốc:

Ta cho để tìm thời gian dừng:

(giây)

Quãng đường

được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian:

Ô tô sẽ di chuyển thêm quãng đường trước khi dừng hẳn.

Giải bài tập 4.32 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một bồn chứa nước bắt đầu bị rỉ từ đáy. Tốc độ nước chảy ra từ đáy bồn tại thời điểm phút được cho bởi hàm số (lít/phút) với và là hàm số cho biết thể tích nước trong bồn tại thời điểm . Tính lượng nước chảy ra khỏi bồn trong 10 phút đầu tiên từ khi bồn bị rỉ nước.

Lời giải chi tiết

Đặt hàm số tốc độ nước chảy:

Hàm số cho biết thể tích nước chảy ra khỏi bồn sẽ là tích phân của theo .

Tính tích phân:

Áp dụng cận từ 0 đến 10:

Lượng nước chảy ra khỏi bồn trong 10 phút đầu tiên là lít.

Giải bài tập 4.33 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong kinh tế, nếu hàm số là tổng chi phí khi sản xuất đơn vị hàng hóa nào đó thì tốc độ thay đổi tức thời của chi phí theo số lượng sản phẩm được sản xuất được gọi là chi phí biên. Chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ sản phẩm lên sản phẩm. Giả sử chi phí biên khi sản xuất sản phẩm của một công ty là (USD/ sản phẩm) thì tổng chi phí sản xuất tăng lên bao nhiêu nếu sản phẩm sản xuất ra tăng từ 40 sản phẩm lên 50 sản phẩm?

Lời giải chi tiết

Đặt hàm số chi phí biên:

Tổng chi phí tăng lên khi sản xuất thêm từ 40 đến 50 sản phẩm sẽ là tích phân của từ 40 đến 50.

Tính tích phân:

Áp dụng cận từ 40 đến 50:

Tổng chi phí sản xuất tăng thêm 1700 USD khi sản lượng tăng từ 40 sản phẩm lên 50 sản phẩm.

Giải bài tập 4.34 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tốc độ tăng cân nặng của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng được ước tính bởi hàm số (kg/tháng) với là cân nặng của bé gái lúc tháng tuổi. Hãy ước tính cân nặng của một bé gái 5 tháng tuổi, biết cân nặng trung bình của bé gái khi mới sinh là .

Lời giải chi tiết

Đặt hàm số tốc độ tăng cân:

Cân nặng của bé gái sau 5 tháng sẽ là:

Với .

Ta có tích phân:

Tính từng phần của tích phân:

Áp dụng cận từ 0 đến 5:

Cân nặng của bé gái sau 5 tháng là khoảng .

Giải bài tập 4.35 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho là một nguyên hàm của hàm số , biết . Giá trị của bằng:

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Vì , ta có:

Áp dụng điều kiện

Do đó, .

Chọn A.

Giải bài tập 4.36 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số trên khoảng là:

A.  

B.  

C.  

D.

Lời giải chi tiết

Phân tích hàm số:

Tìm nguyên hàm:

Chọn A.

Giải bài tập 4.37 trang 37 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số liên tục trên đoạn và . Khi đó bằng:

A.  

B.  

C.  

D.

Lời giải chi tiết

Sử dụng phương trình đã cho:

Tách thành hai tích phân:

Thay vào phương trình ban đầu:

Chọn D.

Giải bài tập 4.38 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và (Hình 4.29). Mệnh đề nào sau đây dúng?

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Xét hình phẳng trong hình vẽ, hàm có phần nằm trên trục hoành (dương) từ đến , và phần nằm dưới trục hoành (âm) từ đến .

- Với khoảng dếdn , nên diện tích sẽ là .

- Với khoảng đến , nên diện tích sẽ là .

Tổng diện tích là:

Chọn C.

Giải bài tập 4.39 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và các đường thẳng .

Lời giải chi tiết

Diện tích giữa hai đồ thị được tính bởi tích phân:

.

Tính tích phân:

Chọn B.

Giải bài tập 4.40 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^{2x},y=0,x=0$ và $x=1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục bằng:

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Với hàm , thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục   là:

Chọn A.

Giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (km/h) phụ thuộc vào thời gian (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như Hình 4.30. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng đồ thị có dạng một parabol với đỉnh , vậy phương trình của parabol có dạng:

Dựa vào điểm trên đồ thị (vận tốc tại thời điểm ), ta thay vào phương trình để tìm :

Vậy phương trình của vận tốc là:

Bây giờ, ta tính quãng đường bằng cách lấy tích phân:

Tính tích phân của :

Tính tích phân của : Sử dụng biến đổi , tích phân trở thành:

Tính tích phân của :

Vậy quãng đường là:

Chọn C.

Giải bài tập 4.42 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một cái cổng hình parabol như Hình 4.31. Chiều cao , chiều rộng . Người ta làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật tô đậm với giá 1.200.000 đồng/m², phần còn lại làm khung hoa sắt với giá 900.000 đồng/m².

A. 11 445 000 đồng.

B. 4 077 000 đồng.

C. 7 368 000 đồng.

D. 11 370 000 đồng.

Lời giải chi tiết

Phương trình của parabol có dạng:

Từ điểm , ta suy ra được .

Theo đề bài ta có , mà là hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung và nằm trên trục hoành nên suy ra:

Vậy ta có phương trình parabol là:

Từ đề bài, ta suy ra được nên độ dài của và là:

Diện tích của hình chữ nhật là:

Diện tích phần parabol là:

Diện tích phần khung sắt phía trên là:

Tính tổng chi phí:

- Chi phí làm phần hình chữ nhật là:

(đồng)

- Chi phí làm phần khung sắt là:

(đồng)

Tổng chi phí làm cổng là:

(đồng)

Chọn A.

Giải bài tập 4.43 trang 39 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát có vận tốc tại thời điểm giây là (cm/s). Tìm li độ của con lắc tại thời điểm giây, biết khi giây thì con lắc có li độ cm.

A. cm.

B. 2 cm.

C. cm.

D. 4 cm.

Lời giải chi tiết

Tính tích phân của :

Áp dụng cận tích phân từ đến :

Tính . Ta biết rằng , do đó:

Li độ của con lắc tại thời điểm giây là cm.