Bài tập cuối chương 5

Giải bài 5.28 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến là

A. .

B.

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến là .

Vậy ta chọn đáp án B.

Giải bài 5.29 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình là

A. .

B.

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Từ phương trình tham số suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .

Vậy ta chọn đáp án D.

Giải bài 5.30 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2x+3y-z-1=0$ và điểm $A\left(1;2;-1\right)$. Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) là

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Vectơ pháp tuyến của d là . Do d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình chính tắc của d là .

Vậy ta chọn đáp án B.

Giải bài 5.31 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, côsin của góc giữa hai đường thẳng và bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của và lần lượt là và .

Ta có .

Vậy ta chọn đáp án A.

Giải bài 5.32 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, góc giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z + 2}}{1}\) và mặt phẳng (Oxz) bằng

A. \({45^ \circ }\).

B. \({30^ \circ }\).

C. \({60^ \circ }\).

D. \({90^ \circ }\).

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = \left( {1;\sqrt 2 ;1} \right)\) và vectơ pháp tuyến của (Oxz) là \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( {Oxz} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow j } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow j } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {1 + 2 + 1}  \cdot \sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra \(\left( {\Delta ,\left( {Oxz} \right)} \right) = {45^ \circ }\).

Vậy ta chọn đáp án A.

Giải bài 5.33 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm và (S) đi qua là

A. .                             

B. .                     

C. .                      

D. .

Lời giải chi tiết

Bán kính mặt cầu (S) là .

Phương trình mặt cầu (S) là .

Vậy ta chọn đáp án C.

Giải bài 5.34 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình là phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R lần lượt là

A. .

B. .                             

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Từ phương trình mặt cầu ta có tâm mặt cầu là , bán kính là

Vậy ta chọn đáp án B.

Giải bài 5.35 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng

\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) và đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\) là

A. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3; - 1;1} \right)\).

B. \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;1; - 1} \right)\).                       

C. \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1;3} \right)\).

D. \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( { - 1;3;1} \right)\).

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(B\left( {1; - 2;3} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;2} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng \(\Delta \) và đi qua A là tích có hướng \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right]\). Ta có \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {3; - 1;1} \right)\). Vậy ta chọn đáp án A.

Giải bài 5.36 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 2;1;0} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 3 = 0\) bằng

A. 2.

B. 6.

C. 3.

D. 9.

Lời giải chi tiết

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot 1 - 3} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{9}{3} = 3\).

Vậy ta chọn đáp án C.

Giải bài 5.37 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

và .

Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là

A. chéo nhau.

B. cắt nhau.

C. song song.

D. trùng nhau.

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là .

Ta có . Hai vectơ này không cùng phương.

Đường thẳng đi qua và đi qua .

Ta có ; .

Xét suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

Vậy ta chọn đáp án B.

Giải bài 5.38 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(2;3;-1\right),B\left(-1;2;0\right)$ và $C\left(3;1;2\right)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1;1\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(1;-2;3\right)$. Suy ra $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-1;10;7\right)$.

Mặt phẳng (ABC) nhận $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là

$-\left(x+1\right)+10\left(y-2\right)+7z=0\iff -x+10y+7z-21=0$.

b) Vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1;1\right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là $\{\begin{array}{c}x=2-3t\\ y=3-t\\ z=-1+t\end{array}$.

Phương trình chính tắc của AB là $\frac{x+1}{-3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}$.

Giải bài 5.39 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

và

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và .

b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng và .

c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua và song song với đường thẳng .

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và lần lượt là và .

Ta thấy hai vectơ chỉ phương này không cùng phương.

Đường thẳng đi qua điểm , đi qua điểm .

Ta có ; .

Xét . Suy ra hai đường thẳng và chéo nhau.

b) Ta có .

c) Do d song song với nên nó có cùng vectơ chỉ phương với .

Suy ra một vectơ chỉ phương của d là .

Phương trình đường thẳng d là .

Giải bài 5.40 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng .

a) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và (S) tiếp xúc với (P).

c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và d vuông góc với (P).

Lời giải chi tiết

a) Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là .

b) Do mặt cầu (S) có tâm I và (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính của (S) là .

Phương trình mặt cầu (S) là .

c) Do d vuông góc với (P) nên vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của (P) là

.

Phương trình đường thẳng d là .

Giải bài 5.41 trang 37 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng .

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng và mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với .

c) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

a) Ta có I thuộc nên I.

Mặt khác I thuộc (P) suy ra .

Do đó, I.

b) Vectơ pháp tuyến của (P) là . Vectơ chỉ phương của là .

Đường thẳng nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc với nên có một vectơ chỉ phương là .

Mặt khác có đường thẳng nằm trên mặt phẳng (P) đồng thời cắt nên I thuộc .

Phương trình đường thẳng là

c) Ta có suy ra .

Giải bài 5.42 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và .

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng và chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và song song với đường thẳng .

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của là , vectơ chỉ phương của là .

Đường thẳng đi qua , đường thẳng đi qua .

Ta có ; . Suy ra .

Do đó và chéo nhau.

b) Do (P) chứa và song song với đường thẳng nên (P) có một vectơ pháp tuyến là và (P) chứa điểm .

Phương trình mặt phẳng của (P) là .

Giải bài 5.43 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  và điểm .

a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Mặt cầu (S) có tâm , bán kính .

b) Ta có . Suy ra điểm A nằm trong mặt cầu (S).

c) Kẻ IH vuông góc với mặt phẳng (P) thì nên IH lớn nhất khi H trùng với A.

Để khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất thì IH lớn nhất.

Khi đó A là hình chiếu của I trên (P).

Suy ra mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .

Phương trình mặt phẳng (P) là .

Giải bài 5.44 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) $x^2+y^2+z^2+6x-8z+5=0$.

b) $x^2+y^2+z^2-4x+6z+17=0$.

c) $2x^2+2y^2+2z^2-5=0$.

Lời giải chi tiết

a) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+c^2-2ax-2by-2cz+d=0$.

(S) có tâm $\left(a;b;c\right)$ và bán kính $\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ với $a^2+b^2+c^2-d>0$.

Xét phương trình $x^2+y^2+z^2+6x-8z+5=0$ ta có $a=-3,b=0,c=4,d=5$.

Suy ra $a^2+b^2+c^2-d=9+16-5=20>0$.

Do đó phương trình trên xác định một mặt cầu có tâm $I\left(-3;0;4\right)$ và bán kính $R=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

b) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+c^2-2ax-2by-2cz+d=0$.

(S) có tâm $\left(a;b;c\right)$ và bán kính $\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ với $a^2+b^2+c^2-d>0$.

Xét phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+6z+17=0$ ta có $a=2,b=0,c=-3,d=17$.

Suy ra $a^2+b^2+c^2-d=4+9-17=-4<0$.

Do đó phương trình trên không phải là phương trình mặt cầu.

c) Trong không gian, mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+c^2-2ax-2by-2cz+d=0$.

(S) có tâm và bán kính với .

Xét phương trình ta có .

Suy ra .

Do đó phương trình trên xác định một mặt cầu có tâm và bán kính .

Giải bài 5.45 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng và .

a) Chứng minh rằng .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .

Lời giải chi tiết

a) Một vectơ pháp tuyến của (P) là , một vectơ pháp tuyến của (Q) là

Suy ra . Mà do đó .

b) Ta có điểm thuộc mặt phẳng .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và là .

Giải bài 5.46 trang 38 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm $P\left(2;3;5\right)$. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm P trên các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Lời giải chi tiết

Do A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm P trên các trục Ox, Oy, Oz nên $A\left(2;0;0\right)$, $B\left(0;3;0\right)$ và $C\left(0;0;5\right)$.

Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn của là $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{5}=1$.

Giải bài 5.47 trang 39 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2; - 1; - 3} \right)\); \(B\left( {3;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y - z - 5 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;2} \right)\). Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right):x - 3y - z - 5 = 0\) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3; - 1} \right)\).

Do (Q) chứa hai điểm A, B đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P) một vectơ pháp tuyến của (Q) là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {5;3; - 4} \right)\).

Phương trình mặt phẳng (Q) là \(5\left( {x - 3} \right) + 3y - 4\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 3y - 4z - 19 = 0\).