Bài tập cuối chương 5 Toán 11 Cùng khám phá

Bài 5.14 trang 147 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Vũ và Tâm đều theo dõi thành tích của các vận động viên nam trong một cuộc thi bơi tự do dài 50 m. Vũ ghi lại thời gian bơi (đơn vị: giây) của mỗi vận động viên, còn Tâm lập bảng phân bố tần số ghép lớp để biểu diễn kết quả.

a) Với số liệu do Vũ cung cấp, hãy tính thành tích trung bình của các vận động viên.

b) Với bảng tấn số ghép nhóm của Tâm thì thành tích trung bình của các vận động viên là bao nhiêu?

c) Giải thích vì sao có sự khác nhau giữa hai kết quả tìm được.

Lời giải chi tiết

a) Thành tích trung bình của các vận động viên là

\(\overline x  = \frac{{29,50 + 29,74 + ... + 27,05}}{{18}} = 28,01\) giây

b) Để ngắn gọn, ta trình bày cách tính trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm qua bảng sau

Số trung bình của mẫu số liệu là \(\overline x  = \frac{{516}}{{18}} \approx 28,67\) giây

c) Do đối với một mẫu số liệu ghép nhóm, do không biết từng số liệu cụ thể nên ra không tính được giá trị chính xác của số trung bình mà chỉ có thể ước tính gần đúng số trung bình của mẫu.

Bài 5.15 trang 147 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một du học sinh ở nước ngoài đã tìm hiểu mức lương của nhận viên thuộc một công ty và thu được Bảng 5.35 dưới đây. Nếu xét về lương thì có hay không sự bất bình đẳng giữa nam giới và nữ giới làm việc ở công ty này? Giải thích câu trả lời bằng cách dựa vào các tham số đo xu thế trung tâm (trung bình, trung vị, mốt) của mẫu số liệu.

Lời giải chi tiết

+) Tính trung bình

Để ngắn gọn, ta lập bảng sau

Ta có lương trung bình của nam là USD

Lương trung bình của nữ là USD

+) Tìm trung vị

Để ngắn gọn, ta lập bảng sau

Đối với nam thì . Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn bằng là nhóm và đây là nhóm chứa trung bị với tần số , , tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa trung vị là

Áp dụng công thức tính trung vị ta có

    Đối với nữa thì . Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn bằng là nhóm và đây là nhóm chứa trung bị với tần số , , tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa trung vị là

Áp dụng công thức tính trung vị ta có

+) Tìm mốt

    Đối với nam thì nhóm chứa mốt là với

Áp dụng công thức tính mốt ta có

    Đối với nam thì nhóm chứa mốt là với

Áp dụng công thức tính mốt ta có

Dựa vào các tham số đo xu thế trung tâm ta nhận thấy xét về lương thì không có sự bất bình đẳng giữa nam giới và nữ giới.

Bài 5.16 trang 147 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tuổi thọ của lốp xe ô tô được tính theo quãng đường mà lốp được sử dụng cho đến khi bắt đầu xảy ra sự cố về lốp, gọi là “quãng đường lăn bánh”. Dưới đây là bảng thống kê quãng đường lăn bánh của một số lốp xe do hãng X sản xuất:

a) Tính quãng đường lăn bánh trung bình của lốp xe do hãng X sản xuất.

b) Chiếm số lượng nhiều nhất là loại lốp xe có quãng đường lăn bánh xấp xỉ bao nhiêu km?

Lời giải chi tiết

a) Để ngắn gọn, ta lập bảng sau

Áp dụng công thức tính trung bình ta có \(\overline x  = \frac{{22330}}{{320}} = 69,78\)

Vậy quãng đường lăn bánh trung bình của lốp xe do hãng X sản xuất là 69,78 nghìn km.

b) Dựa vào bảng dữ liệu ta có nhóm chứa mốt là \(\left[ {70;80} \right)\) với tần số \(n = 105\)

Ta có \({L_m} = 70;h = 80 - 70 = 10\), \(a = 105 - 62 = 43,b = 105 - 35 = 70\)

Áp dụng công thức tính mốt ta có \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h = 70 + \frac{{43}}{{43 + 70}}.10 \approx 73,8\)

Ta có mốt của mẫu số liệu chính là số lượng nhiều nhất là loại lốp xe có quãng đường lăn bánh xấp xỉ 73,8 nghìn km

Bài 5.17 trang 148 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Để chuẩn bị cho đồ án tốt nghiệp, một sinh viên y khoa đã khảo sát huyết áp tối đa của một số bệnh nhân và lập được bảng tần số ghép nhóm sau:

 

a) Xác định trung bình, trung vị và mốt của mẫu số liệu.

b) Hãy giải thích vì sao trong trường hợp này, cả ba giá trị tìm được đều đại diện tốt cho huyết áp của những bệnh nhân được khảo sát.

Lời giải chi tiết

a)

+) Xác định trung bình

Để ngắn gọn, ta lập bảng sau

Áp dụng công thức tính trung bình ta có \(\overline x  = \frac{{23700}}{{152}} \approx 156\)

+) Xác định trung vị

Ta có bảng tần số tích lũy sau

Ta có \(\frac{N}{2} = \frac{{152}}{2} = 76\). Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn bằng 76 là \(\left[ {150;170} \right)\)

Ta có \({L_m} = 150\), \(h = 170 - 150 = 20\), \({n_m} = 45\) và \(T = 61\).

Áp dụng công thức tính trung vị ta có \({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h = 150 + \frac{{76 - 61}}{{45}}.20 \approx 157\)

+) Xác định mốt

Dựa vào bảng dữ liệu ta có nhóm chứa mốt là \(\left[ {150;170} \right)\) với tần số là 45.

Do đó \({L_m} = 150;h = 170 - 150 = 20;a = 45 - 35 = 10;b = 45 - 30 = 15\)

Áp dụng công thức tính mốt ta có \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h = 150 + \frac{{10}}{{10 + 15}}.20 = 158\)

b) Dựa vào ba giá trị tìm được \(\overline x  = 156,{M_e} = 157,{M_0} = 158\) ta nhận thấy cả ba giá trị tìm được đều đại diện tốt cho huyết áp của những bệnh nhân được khảo sát là vì ba giá trị này xấp xỉ bằng nhau và huyết áp của người bình thường cũng trong khoảng 150 đến 170

Bài 5.18 trang 148 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Mai tìm hiểu lượng hàm chất béo (đơn vị: g) có trong 100g mỗi loại thực phẩm. Sau khi thu thập dữ liệu về 60 loại thực phẩm, Mai lập được bảng thống kê 5.38.

a) Xác định trung bình, trung bị, mốt của mẫu số liệu.

b) Từ các giá trị tìm được, hãy phân tích số liệu về hàm lượng chất béo của những loại thực phẩm mà Mai đã tìm hiểu.

Lời giải chi tiết

+) Tìm trung bình

Áp dụng công thức tính trung bình ta có \(\overline x  = \frac{{1016}}{{60}} \approx 16,9\)

+ Tìm trung vị

Bảng tần số tích lũy

Ta có \(\frac{N}{2} = \frac{{60}}{2} = 30\). Nhóm có tần số tích lũy lớn hơn bằng 30 là nhóm \(\left[ {14;18} \right)\) nên đây là nhóm chứa trung vị

Ta có \({L_m} = 14;h = 18 - 14 = 4;{n_m} = 13,T = 18\)

Áp dụng công thức tính trung vị ta có \({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h = 14 + \frac{{30 - 18}}{{13}}.4 \approx 17,7\)

+ Tìm mốt

Dựa vào bảng tần số ta có nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {18;22} \right)\) với tần số \(n = 16\)

Ta có \({L_m} = 18;h = 22 - 18 = 4;a = 16 - 13 = 3;b = 16 - 13 = 3\)

Áp dụng công thức tính mốt ta có \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h = 18 + \frac{3}{{3 + 3}}.4 = 20\)

b) Hàm lượng chất béo trung bình của 60 loại thực phẩm là \(16,9g\)

Hàm lượng chất béo mà Mai tìm hiểu tập chung chủ yếu từ \(17\)g đến \(20\)g

Bài 5.19 trang 148 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một công ty giống cây trồng đã cho trồng thử nghiệm hai giống lúa vụ đông xuân ở một số địa phương, với điều kiện thổ nhưỡng và chế độ chăm sóc như nhau. Cuối vụ, công ty tìm hiểu năng suất mỗi giống lúa trên những thửa ruộng đã trồng thí điểm và thu được dữ liệu ở bảng sau:

Trong vai nhà nghiên cứu, hãy phân tích dữ liệu về năng suất mỗi giống lúa và quyết định nên triển khai trồng đại trà giống lúa nào. Giải thích sự lựa chọn đó.

Lời giải chi tiết

+) Tính trung bình

Ta có bảng sau

Áp dụng công thức trung bình ta có

\(\overline {{x_A}}  = \frac{{2070}}{{32}} \approx 64,7\);  \(\overline {{x_B}}  = \frac{{2215}}{{36}} \approx 61,5\)

+) Tính trung vị

Bảng tần số tích lũy sau

* Với giống lúa A có \(\frac{{{N_A}}}{2} = \frac{{32}}{2} = 16\). Do đó nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 16 là nhóm \(\left[ {65;70} \right)\).

    Ta có \({L_m} = 65;h = 70 - 65 = 5;{n_m} = 11\), \(T = 15\).

    Áp dụng công thức tính \({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h = 65 + \frac{{16 - 15}}{{11}}.5 \approx 65,5\)

* Với giống lúa \(B\) có \(\frac{{{N_B}}}{2} = \frac{{36}}{2} = 18\). Do đó nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 18 là nhóm \(\left[ {60;65} \right)\).

    Ta có \({L_m} = 60;h = 65 - 60 = 5;{n_m} = 13;T = 14\)

    Áp dụng công thức tính \({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h = 60 + \frac{{18 - 14}}{{13}}.5 \approx 61,5\)

+ Tính mốt

* Với giống lúa A thì nhóm chứa mốt là \(\left[ {65;70} \right)\) với tần số \(n = 11\), \(h = 70 - 65 = 5\)

 \({L_m} = 65;a = 11 - 8 = 3;b = 11 - 6 = 5;\)

Ta có \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h = 65 + \frac{3}{{3 + 5}}.5 \approx 66,9\)

* Với giống lúa B thì nhóm chứa mốt là \(\left[ {60;65} \right)\) với tần số \(n = 13;h = 65 - 60 = 5\)

\({L_m} = 60;a = 13 - 8 = 5;b = 13 - 5 = 8\)

Ta có \({M_0} = {L_m} + \frac{a}{{a + b}}.h = 60 + \frac{5}{{5 + 8}}.5 \approx 61,9\)

Dựa vào các dữ liệu về tính trung bình, trung vị và mốt ta nhận thấy giống lúa A đều cho năng suất hơn giống lúa B. Do đó nên triển khai trồng đại trà giống lúa A

Bài 5.20 trang 149 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Dưới đây là một mẫu số liệu cho ở dạng bảng tần số ghép nhóm

Trung vị \({M_e}\) của mẫu số liệu là một số thỏa mãn điều kiện

A. \(77,5 \le {M_e} < 82,5.\)                    

B. \(82,5 \le {M_e} < 87,5\)

C. \(87,5 \le {M_e} < 92,5\)                     

D. \(92,5 \le {M_e} < 97,5\)

 

Lời giải chi tiết

Đáp án B

Ta có bảng tần số tích lũy sau

Ta có \(\frac{N}{2} = \frac{{100}}{2} = 50\). Nhóm chứa trung vị là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn bằng 50 do đó nhóm chứa trung vị là \(\left[ {82,5;87,5} \right)\)

Bài 5.21 trang 149 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Dưới đây là một mẫu số liệu cho ở dạng bảng tần số ghép nhóm:

Trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

A. \(\overline x  \approx 112,8.\)              

B. \(\overline x  \approx 107,8.\)

C. \(\overline x  \approx 102,5.\)               

D. \(\overline x  \approx 85,5.\)

Lời giải chi tiết

Để ngắn gọn, ta lập bảng sau

Áp dụng công thức tính trung bình ta có \(\overline x  = \frac{{3125}}{{29}} \approx 107,8\)

Đáp án B

Bài 5.22 trang 149 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Xét mẫu số liệu về lợi nhuận hàng ngày của một cửa hàng trong quãng thời gian 60 ngày

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \({Q_3}\) thuộc nhóm \(\left[ {20;25} \right)\).

B. Nhóm chứa trung vị là nhóm \(\left[ {15;20} \right)\).

C. \({Q_1}\) thuộc nhóm \(\left[ {10;15} \right)\).

D. \({Q_1},{Q_2}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {15;20} \right)\).

Lời giải chi tiết

Đáp án C

* Ta có \(N = 60 \Rightarrow \frac{N}{4} = 15;\frac{N}{2} = 30;\frac{{3N}}{4} = 45\)Ta có \(\frac{N}{2} = \frac{{60}}{2} = 30\).

Từ đó ta xác định được các nhóm chứa \({Q_1};{Q_2};{Q_3}\) lần lượt là \(\left[ {15;20} \right);\left[ {15;20} \right);\left[ {20;25} \right)\)

* Ta có \(\frac{N}{2} = \frac{{60}}{2} = 30\), nên nhóm chứa trung vị là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn bằng 30. Vậy nhóm chứa trung vị là nhóm \(\left[ {15;20} \right)\) và đây là \({Q_2}\). Suy ra B đúng

Vậy đáp án đúng là đáp án C