Bài tập cuối chương 5 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 5.34 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho bốn điểm A(−2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; −1), D(1; 4; 0).

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra A.BCD là một hình chóp.

b) Tính chiều cao AH của hình chóp A.BCD.

c) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD.

Lời giải chi tiết

a)

Tính hai véc-tơ trong mặt phẳng (BCD):

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của hai véc-tơ và :

Phương trình mặt phẳng (BCD):

Thay điểm A vào phương trình mặt phẳng (BCD):

Vậy điểm A không thuộc phương trình mặt phẳng (BCD) nên A.BCD là một hình chóp.

b)

Chiều cao của hình chóp là khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng (BCD).

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD):

c)

Tính và :

Mặt phẳng này chứa và song song với , do đó, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích có hướng của và :

Phương trình mặt phẳng là:

Giải bài tập 5.35 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa:

a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD);

b) Hai đường thẳng AB và CD;

c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Lời giải chi tiết

a)

- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là:

- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến:

- Tính độ dài của các vectơ pháp tuyến:

- Tính góc giữa hai mặt phẳng:

b)

- Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là:

- Vecto chỉ phương của đường thẳng CD là:

- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ chỉ phương:

- Tính độ dài của các vectơ chỉ phương:

- Tính góc giữa hai đường thẳng:

c)

- Tính tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD):

- Tính độ dài của các vectơ:

- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Giải bài tập 5.36 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Viết phương trình tham số của đường thẳng

a) Đi qua hai điểm $A(1;0;-3)$ và $B(-3;1;0)$.

b) Đi qua điểm và song song với đường thẳng :

Lời giải chi tiết

a)

Đường thẳng đi qua hai điểm và .

- Tính vectơ chỉ phương :

- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:

b)

Đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng :

- Vector chỉ phương của đường thẳng là

- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:

Giải bài tập 5.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho mặt phẳng (): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2).

a) Viết phương trình mặt phẳng () chứa điểm M và song song với ().

b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ().

Lời giải chi tiết

a)

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .

Vì mặt phẳng song song với , nên nó cũng có cùng vectơ pháp tuyến . Do đó, phương trình của mặt phẳng có dạng:

trong đó D là hằng số cần tìm. Vì chứa điểm , ta thay tọa độ của M vào phương trình của :

Vậy phương trình của mặt phẳng là:

b)

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính bằng công thức:

Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là:

Giải bài tập 5.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7).

a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S).

b) Viết phương trình của mặt cầu (S).

Lời giải chi tiết

a)

Tâm \(I\) là trung điểm của đoạn AB, nên tọa độ của \(I\) là:

\(I\left( {\frac{{6 + ( - 4)}}{2},\frac{{2 + 0}}{2},\frac{{ - 5 + 7}}{2}} \right) = I\left( {\frac{2}{2},\frac{2}{2},\frac{2}{2}} \right) = I(1;1;1)\)

b)

Độ dài đoạn AB được tính như sau:

\(AB = \sqrt {{{(6 - ( - 4))}^2} + {{(2 - 0)}^2} + {{( - 5 - 7)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{(6 + 4)}^2} + {2^2} + {{( - 5 - 7)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{10}^2} + {2^2} + {{( - 12)}^2}} \)

\( = \sqrt {100 + 4 + 144}  = \sqrt {248}  = 2\sqrt {62} \)

Vậy bán kính \(r\) là:

\(r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt {62} }}{2} = \sqrt {62} \)

Giải bài tập 5.39 trang 84 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Người ta mô phỏng thiết kế của một bình chứa nhiên liệu có dạng một hình chóp cụt tứ giác đều trong hệ trục Oxyz như Hình 5.39 với $S(0;0;0)$, $P(10;0;0)$, , , .

a) Viết phương trình các mặt phẳng chứa các mặt bên của bình.

b) Tính của góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

c) Tính của góc giữa các mặt bên.

Lời giải chi tiết

Dựa vào hình ta có toạ độ các điểm còn lại như sau:

, ,

* Mặt phẳng APST:

- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

- Phương trình mặt phẳng APST là:

* Mặt phẳng BHQR

- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

- Phương trình mặt phẳng BHQR là:

* Mặt phẳng STBH

- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

- Phương trình mặt phẳng STBH là:

* Mặt phẳng ARQT

- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

- Phương trình mặt phẳng ARQT là:

b)

Chọn cạnh bên ST để xét.

Mặt phẳng đáy SHQP cũng chính là mặt phẳng Oxy:

Sin của góc giữa cạnh bên ST và mặt phẳng đáy SHQP là:

c)

Vì đây là hình chóp cụt tứ giác đều nên cosin của góc giữa các mặt bên là:

Giải bài tập 5.40 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong các chương trình đồ hoạ máy tính, để tạo ảo giác theo đúng phối cảnh, các vật ở càng gần thì càng lớn hơn các vật ở xa, các hình ảnh ba chiều trong bộ nhớ của máy tính được chiếu lên một màn hình hình chữ nhật từ điểm nhìn của mắt hoặc máy chiếu.

Không gian quan sát, một phần của không gian được nhìn thấy là vùng nằm trong bốn mặt phẳng đi qua điểm nhìn và một đường biên của màn hình. Nếu vật trong cảnh vật mở rộng vượt quá bốn mặt phẳng này thì chúng phải được cắt xén trước khi dữ liệu điểm ảnh được gửi đến màn hình. Vì vậy các mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng cắt. Giả sử màn hình được biểu diễn bởi hình chữ nhật trong mặt phẳng Oyz với các đỉnh (0; 400; 0), (0; −400; 0), (0; 400; 600), (0; −400; 600) và máy quay được đặt tại (1000; 0; 0). Tính góc giữa màn hình và các mặt phẳng cắt.

Lời giải chi tiết

- Các điểm , , , và đều nằm trong mặt phẳng Oyz, do đó phương trình của mặt phẳng chứa màn hình là:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là .

- Điểm máy quay .

* Mặt phẳng cắt qua điểm O và cạnh AB:

- Vectơ ,

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là tích có hướng của và :

- Đơn giản hóa, ta có .

* Mặt phẳng cắt qua điểm O và cạnh BC:

- Vectơ ,

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này:

- Đơn giản hóa, ta có .

* Mặt phẳng cắt qua điểm O và cạnh AD:

- Vectơ ,

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là tích có hướng của và :

- Đơn giản hóa, ta có .

* Mặt phẳng cắt qua điểm O và cạnh DC:

- Vectơ ,

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này:

- Đơn giản hóa, ta có .

* Tính góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và các mặt phẳng cắt:

- Góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng qua cạnh AB:

.

- Góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng qua cạnh BC:

.

- Góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng qua cạnh AD:

.

- Góc giữa mặt phẳng chứa màn hình và mặt phẳng qua cạnh DC:

.

Giải bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.

a) Viết phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng quan sát được.

b) Hỏi camera có thể quan sát toàn bộ sân hay không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình mặt cầu mô tả vùng quan sát

- Các điểm của sân: , , ,

- Camera đặt tại điểm , độ cao m trên mặt sân tại điểm A.

- Bán kính quan sát của camera là m.

Lập phương trình mặt cầu:

- Sử dụng công thức phương trình mặt cầu với tâm và bán kính :

- Đây là phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng quan sát của camera.

b) Kiểm tra khả năng quan sát toàn bộ sân

* Tính khoảng cách từ các đỉnh của sân đến camera:

- Khoảng cách từ I đến A:

- Khoảng cách từ I đến B:

- Khoảng cách từ I đến D:

- Khoảng cách từ I đến C:

- Camera có thể quan sát được toàn bộ sân nếu tất cả các đỉnh đều nằm trong bán kính quan sát. Ta thấy rằng khoảng cách . Do đó, điểm C nằm ngoài phạm vi quan sát của camera.

Giải bài tập 5.42 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một tháp phát sóng cao 50 m đặt ở góc A của sân hình chữ nhật ABCD. Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp CM và BN (từ C và B) với vận tốc lần lượt là 3 m/phút và 2,5 m/phút. Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải chi tiết

* Đặt gốc toạ độ tại A, trục Ox chứa cạnh AB, trục Oy chứa cạnh AD và trục Oz chứa cạnh AM.

- Toạ độ các điểm là: $A(0;0;0)$, , , , , .

* Tính chiều dài của dây cáp CM và BN:

- Dây cáp : (m).

- Dây cáp : (m).

* Tính quãng đường hai chú kiến leo lên sau 10 phút:

- Quãng đường chú kiến vàng leo lên dây CM: (m).

- Quãng đường chú kiến đen leo lên dây BN: (m).

* Xác định vị trí của hai chú kiến trên các dây cáp CM và BN sau 10 phút:

- Tỉ lệ vị trí của chú kiến vàng trên dây CM: .

- Tọa độ của chú kiến vàng sau 10 phút là:

.

- Tỉ lệ vị trí của chú kiến đen trên dây BN: .

- Tọa độ của chú kiến đen sau 10 phút là:

.

* Tính khoảng cách giữa hai chú kiến Khoảng cách giữa hai chú kiến là:

(m).

Thay các giá trị vào:

(m).

Vậy sau 10 phút, khoảng cách giữa hai chú kiến là khoảng 6,12 m (làm tròn đến hàng phần trăm).

Giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1).

a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\).

b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\).

c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).

Lời giải chi tiết

Các đỉnh còn lại có toạ độ là: \(C(1;1;0)\), \(B'(0;1;1)\), \(C'(1;1;1)\), \(D'(1;0;1)\)

a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\)

Véc-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\):

\(\overrightarrow {AB'}  = (0;1;1),\quad \overrightarrow {AD'}  = (1;0;1)\)

\({\vec n_{(AB'D')}} = \overrightarrow {AB'}  \times \overrightarrow {AD'}  = (1;1; - 1)\)

Mà ta có: \(\overrightarrow {A'C}  = (1;1; - 1)\)trùng với vec-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\)

Vậy \(A'C \bot (AB'D')\).

b) Chứng minh \((AB'D')\parallel (C'BD)\) và tính khoảng cách

Véc-tơ pháp tuyến của \((C'BD)\):

\(\overrightarrow {C'B}  = ( - 1;0; - 1),\quad \overrightarrow {C'D}  = (0; - 1; - 1)\)

\({\vec n_{(C'BD)}} = \overrightarrow {C'B}  \times \overrightarrow {C'D}  = ( - 1; - 1;1)\)

Hai véc-tơ pháp tuyến \({\vec n_{(AB'D')}}\) và \({\vec n_{(C'BD)}}\) cùng phương nên \((AB'D')\parallel (C'BD)\).

* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

Chọn điểm \(A(0,0,0)\) thuộc \((AB'D')\).

Phương trình \((C'BD)\): \(1.(x - 0) - 1.(y - 1) - (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 1 = 0\).

\(d = \frac{{|0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 - 0 \cdot ( - 1) + 1|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

c) Tính \(\cos \theta \) giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\)

- Véc-tơ pháp tuyến của \((DA'C')\):

\(\overrightarrow {DA'}  = ( - 1;0;1),\quad \overrightarrow {DC'}  = (0;1;1)\)

\({\vec n_{(DA'C')}} = \overrightarrow {DA'}  \times \overrightarrow {DC'}  = ( - 1;1; - 1)\)

Véc-tơ pháp tuyến của \((ABB'A')\):

\(\overrightarrow {AB}  = (0,1,0),\quad \overrightarrow {AA'}  = (0,0,1)\)

\({\vec n_{(ABB'A')}} = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AA'}  = (1,0,0)\)

Tính \(\cos \theta \):

\({\vec n_{(DA'C')}} \cdot {\vec n_{(ABB'A')}} = ( - 1;1; - 1) \cdot (1;0;0) =  - 1\)

\(\cos \theta  = \frac{{| - 1|}}{{\sqrt 3  \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Giải bài tập 5.44 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 2).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

b) Tính sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB).

c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Lời giải chi tiết

a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .

Véc-tơ và .

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng :

Phương trình mặt phẳng : .

Khoảng cách từ đến mặt phẳng :

b) Tính của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng .

- Véc-tơ và .

- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

- Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng SD là .

Để tính của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng , ta sử dụng công thức:

- Tích vô hướng :

- Độ dài của và :

Vậy:

c) Tính của góc giữa hai mặt phẳng và .

- Véc-tơ và .

- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng :

- Véc-tơ .

- Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng :

Để tính của góc giữa hai mặt phẳng, ta dùng công thức:

- Tích vô hướng :

- Độ dài của và :

Vậy:

Giải bài tập 5.45 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có

phương trình là

A. $2x-y-z+5=0$

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:

Véc-tơ có tọa độ:

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với đoạn AB. Do đó, véc-tơ cũng là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Vậy, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là:

Gọi phương trình mặt phẳng trung trực là . Vì mặt phẳng này đi qua trung điểm , nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng này:

Vậy, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

Chọn B

Giải bài tập 5.46 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm M(0; 0; −1), có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{a}=\left(-1;2;-3\right)$ và $\vec{b}=\left(3;0;5\right)$. Phương trình của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

* Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :

- Tính tích có hướng :

- Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

* Viết phương trình mặt phẳng :

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

Phương trình của mặt phẳng là:

Chọn B

Giải bài tập 5.47 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho ba điểm A(3; 0; 1), B(0; 2; 1), C(1; 0; 0). Phương trình của mặt phẳng (ABC) là

A. $2x-3y-4z+2=0$

B. $2x+3y-4z-2=0$

C. $4x+6y-8z+2=0$

D. $2x-3y-4z+1=0$

Lời giải chi tiết

* Tính hai vectơ chỉ phương:

Véc-tơ

Véc-tơ

* Tính vectơ pháp tuyến:

- Tính tích có hướng

- Vậy, vectơ pháp tuyến .

* Viết phương trình mặt phẳng:

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

* Phương trình của mặt phẳng là:

Chọn B

Giải bài tập 5.48 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho điểm M(3; −1; −2) và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: 3x − y + 2z + 4 = 0. Mặt phẳng đi qua M và song song với $\left(\alpha \right)$có phương trình là

A. $3x+y-2z-14=0$

B. $3x-y+2z+6=0$

C. $3x-y+2z-6=0$

D. $3x-y-2z+6=0$

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(3;-1;-2)$ và song song với mặt phẳng $\alpha :3x-y+2z+4=0$ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3,-1,2)$.

Ta thay tọa độ điểm $M(3,-1,-2)$ vào phương trình sau:

$3(x-3)-(y+1)+2(z+2)=0$

$3x-9-y-1+2z+4=0$

$3x-y+2z-6=0$

Do đó, phương trình mặt phẳng cần tìm là:

$3x-y+2z-6=0$

Chọn C

Giải bài tập 5.49 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: 2x + y − 3z + 8 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với

mặt phẳng $\left(\alpha \right)$?

A. x – 3y + 3z – 7 = 0

B. 3x – 3y + z – 7 = 0

C. x + 2y – z – 8 = 0

D. x – 2y + z + 8 = 0

Lời giải chi tiết

* Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Vectơ pháp tuyến là .

* Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng trong các lựa chọn:

- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

* Kiểm tra điều kiện vuông góc:

- Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Cụ thể:

- Tính các tích vô hướng:

- Chỉ có phương trình mặt phẳng có tích vô hướng bằng 0 với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , tức là mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng .

Chọn B

Giải bài tập 5.50 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của đường thẳng là:

                                    

Lời giải chi tiết

- Đường thẳng đi qua điểm nên ta có , , .

- Vector chỉ phương của đường thẳng là , do đó , , .

- Thay các giá trị vào phương trình tham số của đường thẳng:

 - Vậy phương trình tham số của đường thẳng là:

Chọn C

Giải bài tập 5.51 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hai điểm , và đường thẳng . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với ?

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

* Tính tọa độ trung điểm của đoạn AB:

* Đường thẳng cần tìm sẽ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương , giống với vectơ chỉ phương của đường thẳng .

* Phương trình đường thẳng đi qua và song song với là:

Chọn C

Giải bài tập 5.52 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hai điểm \(M(1; - 1; - 1)\) và \(N(5;5;1)\). Đường thẳng MN có phương trình là:

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = 5 + 3t}\\{z =  - 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\)

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + t}\\{y = 5 + 2t}\\{z = 1 + 3t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 + 3t}\\{z =  - 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 + t}\\{z =  - 1 + 3t\quad (t \in \mathbb{R})}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết

* Ta có điểm \(M(1; - 1; - 1)\) và \(N(5;5;1)\).

* Vector chỉ phương của đường thẳng MN là: \(\overrightarrow {MN}  = (5 - 1,5 - ( - 1),1 - ( - 1)) = (4,6,2)\)

* Thay vào phương trình đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(\overrightarrow {MN} \):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y =  - 1 + 6t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}} \right. = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 1 + 3t}\\{z =  - 1 + 1t}\end{array}} \right.\)

Chọn C

Giải bài tập 5.53 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hai đường thẳng và . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. và cắt nhau.

B. .

C. .

D. và chéo nhau.

Lời giải chi tiết

* Vector chỉ phương của là .

* Vector chỉ phương của là .

* Ta thấy , nghĩa là .

* Kiểm tra xem có trùng với hay không bằng cách thay điểm trên vào phương trình của hoặc ngược lại:

Chọn điểm trên . Thay vào phương trình của :

x = 3 + 4t', y = 5 + 6t', z = 7 + 8t'.

Giải hệ trên, ta không tìm được thỏa mãn, nên và không trùng nhau.

Do đó, đáp án đúng là : .

Chọn B