Bài tập cuối chương 6 - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 6.9 trang 105 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong một cuộc khảo sát trên một nhóm gồm 50 học sinh chơi cầu lông có cả các bạn nam và các bạn nữ, số liệu thống kê các bạn thuận tay trái và thuận tay phải được cho như Bảng 6.3.

Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trong nhóm này. Gọi A là biến cố "Người được chọn là bạn nam", B là biến cố "Chọn được người thuận tay trái", C là biến cố "Chọn được người thuận tay phải".

Tính và giải thích ý nghĩa của P(A|B) và P(A|C).

Lời giải chi tiết

* Theo đề bài ta có:

- Tổng số học sinh: 50.

- Số người , .

- Số người thuận tay trái (B): 7.

- Số người thuận tay phải (C): 43.

* Tính

,.

.

 Xác suất để chọn được một bạn nam với điều kiện đã biết bạn đó thuận tay trái là khoảng .

* Tính

, .

 .

 Xác suất để chọn được một bạn nam với điều kiện đã biết bạn đó thuận tay phải là khoảng .

Giải bài tập 6.11 trang 105 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong một cuộc khảo sát tình trạng công việc trên 900 người đã có bằng tốt nghiệp trung học phổ thông ở một địa phương cho cả nam lẫn nữ, người ta thu được số liệu như Bảng 6.4.

Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm này. Gọi A là biến cố "Người được chọn là nữ", B là biến cố "Người được chọn có việc làm".

a) Vẽ lại sơ đồ hình cây sau đây và hoàn thành kết quả ở các ô ?

b) Tính xác suất để chọn được một người có việc làm.

c) Biết rằng đã chọn được một người có việc làm, tính xác suất để người này là nữ.

Lời giải chi tiết

a) Các xác suất là:

*

*

*

*

*

*

*

* :

+ :

+

*

*

b) Xác suất để chọn được một người có việc làm:

c) Xác suất để người có việc làm là nữ:

Giải bài tập 6.12 trang 106 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Theo thống kê, tỉ lệ khách hàng thân thiết của một siêu thị là 35%. Trong nhóm khách hàng thân thiết này, có 74% khách hàng mua rau sạch. Trong nhóm khách hàng còn lại, tỉ lệ mua rau sạch là 28%.

a) Tính tỉ lệ khách hàng mua rau sạch của siêu thị đó.

b) Trong một dịp đặc biệt, người ta đã chọn được một khách hàng mua rau sạch.

Tính xác suất người này là khách hàng thân thiết.

Lời giải chi tiết

Gọi các biến cố:

- : Khách hàng là khách hàng thân thiết.

- : Khách hàng không phải là khách hàng thân thiết.

- : Khách hàng mua rau sạch.

Theo đề bài ta có:

- , .

- , .

a) Tính tỉ lệ khách hàng mua rau sạch:

.

.

 Tính từng phần:

.

.

 Vậy, tỉ lệ khách hàng mua rau sạch là: (44,1%).

b) Tính xác suất khách hàng mua rau sạch là khách hàng thân thiết: Sử dụng công thức: .

 Tính : .

 Thay vào công thức: .

 Vậy, xác suất khách hàng mua rau sạch là khách hàng thân thiết:

 (58,7%).

Giải bài tập 6.13 trang 106 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trung tâm kiểm soát và phòng ngừa dịch bệnh Hoa Kỳ (Centers for Disease Control and Prevention, viết tắt là CDC) thống kê vào thời điểm năm 2020 – 2021 về số lượng sốc phản vệ sau khi tiêm vaccine ở một số nơi tại Hoa Kỳ và châu Âu như sau: Trong 360,19 triệu liều vaccine P được sử dụng có 581 ca sốc phản vệ (có khả năng gây tử vong) và 4 259 ca phản ứng phụ (không sốc phản vệ, không gây tử vong); trong 67,72 triệu liều vaccine A được sử dụng có 195 ca sốc phản vệ và 1118 ca phản ứng phụ.

(Nguồn: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC8626274/)

a) Xét ngẫu nhiên một người trong số được thống kê ở trên. Tính xác suất để người đó thuộc trường hợp sốc phản vệ (có khả năng gây tử vong).

b) Nếu gặp một người có biểu hiện sốc phản vệ (có khả năng gây tử vong) trong số này thì có thể nói khả năng cao là người đó đã tiêm vaccine P hay A?

Lời giải chi tiết

Gọi

- A là biến cố “Người được chọn thuộc trường hợp sốc phản vệ”.

- B là biến cố “Người được chọn đã tiêm vaccine A”.

- C là biến cố “Người được chọn đã tiêm vaccine P”.

a) Tính xác suất để người được chọn thuộc trường hợp sốc phản vệ

Tổng số ca sốc phản vệ:

 Tổng số liều vaccine được sử dụng:

 Xác suất để người được chọn thuộc trường hợp sốc phản vệ:

b) Tính xác suất người gặp sốc phản vệ đã tiêm vaccine hay :

Tính (xác suất người gặp sốc phản vệ đã tiêm vaccine ):

 Tính (xác suất người gặp sốc phản vệ đã tiêm vaccine ):

Khả năng cao người đó đã tiêm vaccine vì:

Giải bài tập 6.14 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất sản xuất 60% và phân xưởng thứ hai sản xuất 40% tổng số sản phẩm của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của từng phân xưởng lần lượt là 16% và 20%.

Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy.

a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm.

b) Giả sử đã lấy được phế phẩm, tính xác suất phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất.

c) Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất là cao hơn?

Lời giải chi tiết

a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm ():

- Xác suất phế phẩm do từng phân xưởng:

 - Xác suất sản phẩm do từng phân xưởng sản xuất:

 Xác suất để lấy được phế phẩm:

b) Tính xác suất phế phẩm lấy được do phân xưởng thứ nhất sản xuất ():

Sử dụng công thức Bayes:

c) Tính khả năng sản phẩm tốt () do từng phân xưởng sản xuất:

- Xác suất sản phẩm tốt do từng phân xưởng:

 - Xác suất sản phẩm tốt:

 - Xác suất sản phẩm tốt do từng phân xưởng:

Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng cao do phân xưởng thứ nhất sản xuất:

Giải bài tập 6.15 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho A, B là các biến cố của một phép thử T. Biết rằng P(B) > 0, xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Theo định nghĩa xác suất có điều kiện: 

Chọn C

Giải bài tập 6.16 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Người ta nhập hai lô hàng vào kho. Lô thứ nhất chứa 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lô thứ hai có 4 phế phẩm và 8 sản phẩm tốt. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Xác suất chọn được một sản phẩm tốt là:

A. $\frac{15}{22}$

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Có tất cả 22 sản phẩm, trong đó 10 sản phẩm thuộc Lô 1, 12 sản phẩm thuộc Lô 2.

Xác suất để lấy ra sản phẩm ở Lô 1 là .

Xác suất để lấy ra sản phẩm ở Lô 2 là .

Xác suất sản phẩm tốt trong từng lô: ,

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

.

Xác suất chọn được sản phẩm tốt là: .

Chọn A

Giải bài tập 6.17 trang 107 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một bệnh viện có hai phòng khám là phòng A và phòng B với khả năng lựa chọn của bệnh nhân là như nhau. Tỉ lệ bệnh nhân nam có ở phòng A và phòng B lần lượt là 60% và 40%. Một người bệnh được chọn ngẫu nhiên từ hai phòng khám và biết người này là nam, xác suất để người bệnh được chọn đến từ phòng A là:

A. 0,6

B. 0,5

C. 0,4

D. 0,3

Lời giải chi tiết

Ta có P(A) = P(B) = 0,5 (khả năng lựa chọn phòng khám như nhau).

Xác suất bệnh nhân nam trong mỗi phòng:

 Xác suất xảy ra biến cố (bệnh nhân nam):

 

 Xác suất bệnh nhân đến từ phòng biết rằng người này là nam:

Chọn A

Giải bài tập 6.18 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho A, B là các biến cố thoả mãn \(P(\bar A\bar B) = 0,35\), \(P(A) = 0,25\), \(P(B) = 0,6\). Giá trị của \(P(A|B)\) bằng:

A. \(\frac{1}{5}\)

B. \(\frac{1}{3}\)

C. \(\frac{7}{{15}}\)

D. \(\frac{2}{3}\)

Lời giải chi tiết

\(P(\bar A\bar B) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB)\)

\(0,35 = 1 - 0,25 - 0,6 + P(AB).\)

Tính P(AB): \(P(AB) = 0,35 - 1 + 0,25 + 0,6 = 0,2.\)

Tính P(A|B): \(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{0,2}}{{0,6}} = \frac{1}{3}.\)

Chọn B

Giải bài tập 6.19 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một bệnh viện đang xét nghiệm cho một số bệnh nhân để xác định liệu họ có nhiễm virus X hay không. Xác suất để một bệnh nhân bị nhiễm virus X là 0,05. Khi xét nghiệm, nếu một bệnh nhân bị nhiễm thì xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính là 0,95. Nếu một bệnh nhân không bị nhiễm thì xác suất để kết quả xét nghiệm âm tính là 0,98. Một bệnh nhân được chọn ngẫu nhiên và có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để bệnh nhân đó thực sự bị nhiễm virus X là

A. $\frac{133}{2000}$

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có:

- Xác suất bệnh nhân bị nhiễm virus X: .

- Xác suất bệnh nhân không bị nhiễm virus X: .

- Xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính khi bệnh nhân bị nhiễm virus X: .

- Xác suất để kết quả xét nghiệm âm tính khi bệnh nhân không bị nhiễm virus X: .

- Xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính khi bệnh nhân không bị nhiễm virus X: .

Để tính (xác suất để kết quả xét nghiệm dương tính), ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: .

Thay các giá trị đã cho vào công thức:

.

.

Áp dụng Định lý Bayes để tính :

.

Thay các giá trị vào công thức:

.

Chọn C

Giải bài tập 6.20 trang 108 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Ở một địa phương X, xác suất để một người lớn trên 40 tuổi mắc bệnh ung thư là 0,05. Xác suất bác sĩ chẩn đoán đúng một người mắc bệnh ung thư là 0,78 và chẩn đoán sai (không bị ung thư nhưng được chẩn đoán mắc bệnh) là 0,06. Xác suất để một người thật sự mắc bệnh ung thư khi nhận được kết quả chẩn đoán bị ung thư bằng

A. 0,40625

B. 0,096

C. 0,904

D. 0,59375

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có:

- Xác suất để một người mắc bệnh ung thư: .

- Xác suất một người không mắc bệnh ung thư: .

- Xác suất bác sĩ chẩn đoán đúng người mắc bệnh ung thư: .

- Xác suất bác sĩ chẩn đoán sai (chẩn đoán bị ung thư khi không mắc bệnh ung thư): .

Để tính (xác suất để chẩn đoán dương tính), ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: .

Thay các giá trị vào công thức:

.

.

Áp dụng Định lý Bayes để tính : .

Thay các giá trị vào công thức: .

Chọn A