Bài tập cuối chương II

Giải bài 2.31 trang 40 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho dãy số () xác định bởi . Số hạng là:

A. 5                     

B. 6                     

C. 7                     

D. 10.

Lời giải chi tiết

Đáp án C

Giải bài 2.32 trang 40 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số () sau

A.

B.                

C.     

D.

Lời giải chi tiết

Đáp án D.

.

Ta có .

Vậy dãy số bị chặn.

Giải bài 2.33 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số (\({u_n}\)) sau

A.\({u_n} =  - 2n + 1\)                               

B. \({u_n} = {n^2} - n + 1\)   

C. \({u_n} = {( - 1)^n}{2^n}\)                             

D. \({u_n} = 1 + \sin n\).

Lời giải chi tiết

Đáp án B

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {(n + 1)^2} - (n + 1) + 1 - ({n^2} - n + 1)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {n^2} + 2n + 1 - n - 1 + 1 - {n^2} + n - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2n > 0\end{array}\)

Vậy nên đó là dãy số tăng.

Giải bài 2.34 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho dãy số \({u_n} = 2020\sin \frac{{n\pi }}{2} + 2021\cos \frac{{n\pi }}{3}\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.\({u_{n + 6}} = {u_n}\)               

B.\({u_{n + 9}} = {u_n}\)               

C. \({u_{n + 4}} = {u_n}\)                

D. \({u_{n + 12}} = {u_n}\).

Lời giải chi tiết

Đáp án D.

\(\begin{array}{l}{u_{n + 12}} = 2020\sin \frac{{(n + 12)\pi }}{2} + 2021\cos \frac{{(n + 12)\pi }}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2020\sin \left( {\frac{{n\pi }}{2} + 6\pi } \right)\, + 2021\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3} + 4\pi } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,2020\sin \frac{{n\pi }}{2} + 2021\cos \frac{{n\pi }}{3} = {u_n}\end{array}\)

Giải bài 2.35 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chọn cấp số cộng trong các dãy số () sau

A.                             

B.           

C.                                        

D..

Lời giải chi tiết

Đáp án C.

.

Vậy dãy số này là cấp số cộng.

Giải bài 2.36 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho cấp số cộng \({u_1} =  - 2,\,\,{u_9} = 22\). Tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng này là

A. 3570               

B. 3575               

C. 3576               

D. 3580.

Lời giải chi tiết

Đáp án B.

\({u_9} = {u_1} + \left( {9 - 1} \right)d \Rightarrow 22 =  - 2 + 8d \Rightarrow 8d = 24 \Rightarrow d = 3.\)

\({S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left[ {2.( - 2) + \left( {50 - 1} \right).3} \right] = 3575\).

Giải bài 2.37 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chọn cấp số nhân trong các dãy số (\({u_n}\)) sau

A.\({u_n} = 2n\)                                        

B.\({u_n} = \frac{2}{n}\)

C. \({u_n} = {2^n}\)                                            

D. \({u_1} = 1,\,\,{u_{n + 1}} = {u_n}.n\).

Lời giải chi tiết

Đáp án C.

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2\). Vậy dãy số đó là cấp số nhân.

Giải bài 2.38 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tổng \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\)bằng

A.\(2 + \frac{1}{{{2^n}}}\)             

B. \(2 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\)              

C.\(2 - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}\)                

D. \(2 - \frac{1}{{{2^n}}}\).

Lời giải chi tiết

Đáp án D.

Dãy số \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{{{2^2}}};...;\frac{1}{{{2^n}}}\)là cấp số nhân với \({u_1} = 1;\,\,q = \frac{1}{2}\). Cấp số nhân này có n+1 số hạng. Nên:

\({S_{n + 1}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{n + 1}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^{n + 1}}}}} \right) = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\).

Giải bài 2.39 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1024.

A. 1                     

B. 2                     

C. 3                     

D. 4.

Lời giải chi tiết

Đáp án D.

Cấp số nhân $u_1=u_3\frac{1}{q^2},u_2=u_3.\frac{1}{q},u_3,u_4=u_1.q,u_5=u_1.q^2$

Tích của 5 số hạng này là: .

Suy ra (1).

Tổng của cấp số nhân 5 số hạng này là :

.

Vậy có 4 nghiệm q thỏa mãn. Vậy có 4 cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Giải bài 2.40 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Ông Trung có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 3 năm số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung gần nhất với số nào sau đây?

A. 126 532 000 đồng                       

B. 158 687 000 đồng                       

C. 125 971 000 đồng                    

D. 112 468 000 đồng.

Lời giải chi tiết

3 năm tương ứng với 6 kì lãi của ông Trung, mỗi kì lãi 4%.

Vậy sau ba năm, số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung là:

Đáp án A.

Giải bài 2.41 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một du khách vào trường đua ngựa xem đua ngựa và đặt cược chọn con thắng cuộc. Nếu chọn đúng con thắng cuộc thì sẽ nhân được số tiền gấp đôi số tiền đặt cược, còn nếu chọn sai thì sẽ mất số tiền đặt cược. Du khách đó lần đầu tiên đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu?

A. Thắng 20 000 đồng                     

B. Hòa vốn          

C. Thua 20 000 đồng                       

D. Thu 40 000 đồng.

Lời giải chi tiết

Đáp án A

Du khách đó lần đầu tiên đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Vậy số tiền đặt cược của du khách ở các lần khác nhau tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là 20 000 và công bội là 2.

Người đó thua 9 lần liên tiếp vậy số tiền người đó đã bỏ ra và mất trong 9 lần đầu là:

(đồng)

Số tiền người đó bỏ ra ở lần thứ 10 là:

(đồng)

Du khách thắng ở lần thứ 10. Người đó nhận bỏ ra và nhận lại gấp đôi nghĩa là người đó lãi được: (đồng).

Vậy thì người đó đã thắng 20 000 đồng.

Giải bài 2.42 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.

A. 40                   

B. 30                   

C. 20                   

D. 10.

Lời giải chi tiết

Đáp án D

Gọi số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là .

Vì 3 số này là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có:

Và tổng của 3 số đó là 217 nên .

Vậy ta có hệ

Nên

Do đó và

Tổng của chúng là 210 nên .

Phương trình có nghiệm nguyên dương là .

Giải bài 2.43 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong các dãy số () dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.

a)

b)

c)

d) .

Lời giải chi tiết

a) Từ hệ thức truy hồi ta có . Vì và nên dãy số đã cho không phải cấp số cộng cũng không phải cấp số nhân.

b) Xét . Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng.

c) Từ hệ thức truy hồi ta có . Vì và nên dãy số đã cho không phải cấp số cộng cũng không phải cấp số nhân.

d) Xét . Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân.

Giải bài 2.44 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Nếu $a_1,a_2,a_3...$và là hai cấp số cộng thì cũng là cấp số cộng.

b) Nếu và là hai cấp số nhân thì cũng là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

a) Dãy số là cấp số cộng với công sai suy ra .

Dãy số là cấp số cộng với công sai suy ra .

Nên . Vậy đó là cấp số cộng với công sai .

b) Dãy số là cấp số nhân với công bội suy ra.

Dãy số là cấp số nhân với công bội suy ra .

Vậy nên . Vậy đó là cấp số nhân với công bội .

Giải bài 2.45 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một con chó nặng 0,4kg khi mới sinh và sau mỗi tuần tuổi khối lượng của nó tăng thêm 24%. Giả sử (kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n.

a) Viết lần lượt các công thức tính . Từ đó dự đoán công thức của .

b) Con chó nặng bao nhiêu kilogram khi được sáu tuần tuổi?

Lời giải chi tiết

a) Giả sử (kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n.

Ta có:

Tương tự, ta có .

b) Sau sáu tuần tuổi thì con chó nặng là

Giải bài 2.46 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khỏe. Bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút vào mỗi ngày sau đó.

a) Tìm công thức truy hồi cho số phút mà bác ấy bơi vào ngày thứ n của chương trình.

b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số .

c) Tìm công thức tổng quát của dãy số .

d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?

e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.

Lời giải chi tiết

a) Gọi là số phút mà bác Hưng bơi vào ngày thứ n của chương trình.

Do bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút và tăng thêm 2 phút mỗi ngày nên số hạng đầu tiên là 10 và công sai là 2..

b) Sáu số hạng đầu của dãy số là

c) Theo định nghĩa, dãy số là cấp số cộng có số hạng đầu tiên là 10 và công sai là 2. Nên công thức tổng quát của nó là:

d) Ta có:

.

Vậy bác Hưng bơi được ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.

e) Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là

(phút).

Giải bài 2.47 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,…

Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.

a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của một số hạng thứ n của cấp số cộng này.

b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729…

c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phần b) và tìm số hạng thứ n của nó.

Lời giải chi tiết

a) Công thức số hạng thứ n của dãy các số chính phương đã cho là \( n^2 \) \(\forall n \geq 1 \).

Tám số hạng đầu của cấp số cộng được mô tả là 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17.

Theo giả thiết chúng ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp là \( u_n = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 \) \(\forall n \geq 1 \).

Ta chứng minh được \( (u_n) \) là cấp số cộng với công sai \( d = 2 \).

b) Xét dãy các số lập phương, với ba số hạng liên tiếp ta lấy số đầu cộng với số thứ ba trừ đi 2 lần số thứ hai ta thu được một cấp số cộng.

c) Bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong câu b là 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48.

Công thức tổng quát là \( u_n = n^3 + (n + 2)^3 - 2(n + 1)^3 = 6n + 6 \) \(\forall n \geq 1 \).

Giải bài 2.48 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự vừa lập thành một cấp số cộng vừa lập thành một cấp số nhân thì ba số ấy bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Gọi x, y lần lượt là số thứ nhất và số thứ 3 trong ba số đó.

Vì ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên số thứ 2 là . Khi đó, ba số cần tìm có dạng x, ,y.

Vì ba số này lập thành một cấp số nhân nên ta có

hay , tức là . Suy ra ba số đó bằng nhau.

Giải bài 2.49 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Anh Nam là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp, Anh vừa kí hợp đồng 5 năm với một câu lạc bộ với mức lương năm khởi điểm là 300 triệu đồng. Chủ tịch câu lạc bộ đưa ra cho anh Nam ba phương án về lương như sau:

- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng.

- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.

- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó kể từ năm thứ hai.

Em hãy tính giúp anh Nam xem với phương án lương nào thì tổng lương sau 5 năm của anh Nam là lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Ta tính tổng lương của anh Nam theo từng phương án

- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng. Sau 5 năm, tổng lương của anh Nam là:

5.300 + 5.50 = 1 750 (triệu đồng).

- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai. Sau 5 năm, tổng lương của anh Nam là:

\(300 + 300\left( {1 + 10\% } \right) + 300{\left( {1 + 10\% } \right)^2} + 300{\left( {1 + 10\% } \right)^3} + 300{\left( {1 + 10\% } \right)^4} = 1\,\,831,53\)(triệu đồng)

- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó kể từ năm thứ hai. Sau 5 năm, tổng lương của anh Nam là:

300 + 330 + 360 + 390 + 420 = 1 800 (triệu đồng).

Vậy anh Nam nên lựa chọn Phương án 2.

Giải bài 2.50 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một dãy số được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

Nếu ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử . Dự đoán công thức số hạng tổng quát .

b) Thiết lập công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng .

Lời giải chi tiết

Ta viết lần lượt các số hạng của dãy

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát

b) Ta viết tổng n số hạng như sau:

Vậy ta được cũng là một cấp số nhân cộng với

Áp dụng công thức của cấp số nhân cộng ở câu a, ta được