Bài tập cuối chương IV

Giải bài 4.39 trang 66 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O.\) Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) và \(O.\) Số các vectơ khác vectơ – không và cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \) là:

A. 6

B. 3

C. 4

D. 2

Lời giải chi tiết

Các vectơ khác vectơ không và cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AC} \) là: \(\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {CA} \), \(\overrightarrow {AO} \), \(\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {OC} \), \(\overrightarrow {CO} \).

Có 6 vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow {AC} \).

Chọn A.

Giải bài 4.40 trang 66 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đoạn thẳng \(AC\) và \(B\) là một điểm nằm giữa \(A,\,\,C.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?

A. Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \) cùng hướng.

B. Hai vectơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.

C. Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.

D. Hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng

Lời giải chi tiết

Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \) ngược hướng.

Hai vectơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ngược hướng.

Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.

Hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BA} \) ngược hướng.

Chọn C.

Giải bài 4.41 trang 67 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\). Gọi \(K,\,\,L,\,\,M,\,\,N\) tướng ứng là trung điểm các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA.\) Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,K,\,\,L,\,\,M,\,\,O\) có bao nhiêu vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK} \)?

A. 2

B. 6

C. 4

D. 8

Lời giải chi tiết

Xét hình bình hành \(ABCD\):

\( \Rightarrow \) \(AB = CD\)

mặt khác \(K\) và \(M\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\)

nên \(AK = KB = CM = DM\)         (1)

Ta có: \(NL\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABCD\)

\( \Rightarrow \) \(NL\)//\(AB\)

Mặt khác \(AN\)//\(BL\)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABLN\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \) \(AB = NL\)

Ta có: \(O\) là trung điểm của \(NL\)

\(K\) là trung điểm của \(AB\)

Mặt khác \(AB = NL\)

\( \Rightarrow \) \(AK = NO = OL = AB\)        (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(AK = KB = NO = OL = DM = MC\)

Mà các đường thẳng \(KB,\) \(NO,\) \(OL,\) \(DM,\) \(MC\) đều song song với \(AK\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {NO}  = \overrightarrow {OL}  = \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {MC} \)

Có 6 vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK} \)

Chọn B.

Giải bài 4.42 trang 67 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình thoi \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng 1 và \(\widehat {DAB} = {120^ \circ }.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \)

B. \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AC} \)

C. \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1\)

D. \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1\)

Lời giải chi tiết

Xét hình thoi có: \(\widehat {DAB} = {120^ \circ }.\)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {BAC} = \widehat {DAC} = {60^ \circ }\) (t/c)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(BA = BC\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta ABC\) cân tại \(B\)

Mặt khác \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\)

Nên \(\Delta ABC\) là tam giác đều

\( \Rightarrow \) \(AC = 1\) hay \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1\)

Chọn D.

Giải bài 4.43 trang 67 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều, trọng tâm \(G,\) có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng

A. \(\sqrt 3 \)

B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(2\sqrt 3 \)

Lời giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\)

\( \Rightarrow \) \(AM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Xét \(\Delta ABC\) đều có \(G\) là trọng tâm của tam giác

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)

Chọn A.

Giải bài 4.44 trang 67 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(AB = 3,\,\,AC = 4.\) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB} \) bằng

A. \(\sqrt {13} \)

B. \(2\sqrt {13} \)

C. \(4\)

D. \(2\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} \)

\( \Leftrightarrow \) \({\left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\left( {2\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {AB} ^2} - 4\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + {\overrightarrow {AC} ^2}\)

\( \Leftrightarrow \) \({\left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB} } \right|^2} = 4{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} = 4.9 + 16 = 52\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {52}  = 2\sqrt {13} \)

Chọn B.

Giải bài 4.45 trang 67 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2,\,\,BC = 4\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }.\) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BA} \) bằng

A. \(2\)

B. \(\sqrt {19} \)

C. \(4\)

D. \(\frac{{\sqrt {19} }}{2}\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\)

\( \Rightarrow \) \(BM = \frac{1}{2}BC = 2\)

Xét \(\Delta ABM\) có: \(AB = BM = 2\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta BAM\) cân tại \(B\)

Mà \(\widehat {ABM} = {60^ \circ }\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta BAM\) đều

\( \Rightarrow \) \(AM = 2\)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = 2.2 = 4\)

Chọn C.

Giải bài 4.46 trang 67 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 .\) Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. \(\overrightarrow {AI}  = 2\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \)

B. \(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC} \)

C. \(\overrightarrow {AI}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC} }}{{ - 3}}\)

D. \(\overrightarrow {AI}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC} }}{3}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AI} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AI} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  - 3\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AI}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC} }}{3}\)

Chọn D.

Giải bài 4.47 trang 68 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(M\) là trung điểm cạnh \(BC.\) Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. \(\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {GM} \)

B. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG} \)

C. \(\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {MG} \)

D. \(3\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {AM} \)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

\(M\) là trung điểm cạnh \(BC\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {AG} \)

Chọn B.

Giải bài 4.48 trang 68 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm Trọng tâm của tam giác có tọa độ là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải chi tiết

Gọi là trọng tâm của

Chọn A.

Giải bài 4.49 trang 68 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A( - 3;3),\,\,B(5; - 2),\) và \(G(2;2).\) Tọa độ của điểm \(C\) sao cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) là:

A. \((5;4)\)

B. \((4;5)\)

C. \((4;3)\)

D. \((3;5)\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(C(x;y)\)

\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = \frac{{ - 3 + 5 + x}}{3}}\\{2 = \frac{{3 - 2 + y}}{3}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 6}\\{y + 1 = 6}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y = 5}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(C(4;5)\)

Chọn B.

Giải bài 4.50 trang 68 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) với độ dài cạnh bằng \(a.\) Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng

A. \({a^2}\sqrt 2 \)

B. \(\frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}\)

C. \({a^2}\)

D. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)

Lời giải chi tiết

Xét hình vuông \(ABCD\)

\( \Rightarrow \) \(AC = a\sqrt 2 \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = a.a\sqrt 2 .\cos {45^ \circ } = {a^2}\)

Chọn C.

Giải bài 4.51 trang 68 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) cùng khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) tương đương với

A. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương

B. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng

C. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng

D. \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)

\( \Leftrightarrow \) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = {0^ \circ }\)

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng

Chọn C.

Giải bài 4.52 trang 68 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai vectơ cùng khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) tương đương với

A. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương

B. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng

C. \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng

D. \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)

\( \Leftrightarrow \) \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) =  - 1\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = {180^ \circ }\)

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng

Chọn B.

Giải bài 4.53 trang 68 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 1,\,\,BC = 2\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }.\) Tích vô hướng \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \) bằng

A. \(\sqrt 3 \)

B. \( - \sqrt 3 \)

C. \(3\)

D. \( - 3\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\)

Áp dụng định lý cosin, ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}\\ \Rightarrow \,\,A{C^2} = 1 + 4 - 2.1.2.\cos {60^ \circ } = 3\\ \Rightarrow \,\,AC = \sqrt 3 \end{array}\)

Áp dụng định lý sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{1}{{\sin \overrightarrow {ACB} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin {{60}^ \circ }}}\\ \Leftrightarrow \,\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{\sin {{60}^ \circ }}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \,\,\widehat {ACB} = {30^ \circ }\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {ACD} = {180^ \circ } - {30^ \circ } = {150^ \circ }\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {CA}  = CD.CA.\cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 2.2.\cos {150^ \circ } =  - 3\)

Chọn D.

Giải bài 4.54 trang 69 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; - 1),\,\,B( - 1;5)\) và \(C(3m;2m - 1).\) Tất cả các giá trị của tham số m sao cho \(AB \bot OC\) là:

A. \(m =  - 2\)

B. \(m = 2\)

C. \(m =  \pm 2\)

D. \(m = 3\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 3;6)\) và \(\overrightarrow {OC}  = (3m;2m - 1)\)

Để \(AB \bot OC\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \( - 3.3m + 6\left( {2m - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \( - 9m + 12m - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(3m = 6\) \( \Leftrightarrow \) \(m = 2\)

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm

Chọn B.

Giải bài 4.55 trang 69 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 1,\,\,AC = 2.\) Lấy \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng thuộc các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) sao cho \(2BM = MC,\,\,CN = 2NA,\,\,AP = 2PB.\) Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} \) bằng

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \( - \frac{1}{2}\)

C. \(0\)

D. \(1\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{{CM}}{{CB}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \) \(MN\)//\(AB\) hay \(MN\)//\(AP\)       (1)

Ta có: \(\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \) \(MP\)//\(AC\) hay \(MP\)//\(AN\)       (2)

Ta có: \(AP = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}.1 = \frac{2}{3}\) và \(AN = \frac{1}{3}AC = \frac{2}{3}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(APMN\) là hình bình hành

Mặt khác \(\widehat {PAN} = {90^ \circ }\) và \(AP = AN = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình vuông

\( \Rightarrow \) \(AM \bot PN\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP}  = 0\)

Chọn C

Giải bài 4.56 trang 69 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) sao cho \(BM = 2MC,\,\,CN = 2NA\) và \(AM \bot NP.\) Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng

A. \(\frac{5}{{12}}\)

B. \(\frac{7}{{12}}\)

C. \(\frac{5}{7}\)

D. \(\frac{7}{5}\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(AP = x\) \(\left( {0 < x < 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {PN}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {AN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

Ta có: \(AM \bot PN\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PN}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  - x\overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{x}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{{2x}}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{9}.\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{{2x}}{3}.\frac{1}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{{18}} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9} - \frac{x}{3} = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(1 - 6x + 4 - 6x = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(12x = 5\) \( \Leftrightarrow \) \(x = \frac{5}{{12}}\)

Vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}\)

Chọn A.

Giải bài 4.57 trang 69 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều có độ dài cạnh bằng \(3a\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MC} \) bằng

A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)

B. \( - \frac{{{a^2}}}{2}\)

C. \({a^2}\)

D. \( - {a^2}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  =  - \overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {MC}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {CB}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\(\begin{array}{l} =  - \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ =  - \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{9}.AB.AC.\cos \widehat {BAC}\\ =  - \frac{1}{9}.9{a^2} + \frac{2}{9}.9{a^2} - \frac{1}{9}.9{a^2}.\cos {60^ \circ }\\ =  - {a^2} + 2{a^2} - {a^2}.\frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)

Chọn A.

Giải bài 4.58 trang 69 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\) Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {AC} } \right|\) là:

A. Đường tròn tâm \(A\) bán kính \(BC\)

B. Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(BC\)

C. Đường tròn đường kính \(BC\)

D. Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {AC} } \right|\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CA} } \right|\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(A\) bán kính \(BC\)

Chọn A.