Bài tập cuối chương IX trang 104, 105, 106 Vở thực hành Toán 8

Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 104 vở thực hành Toán 8 tập 2

Giải bài 5 trang 104 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình 9.73, biết rằng MN // AB, MP // AC. Hãy liệt kê ba cặp hai tam giác (khác nhau) đồng dạng có trong hình

Lời giải chi tiết

.

Giải bài 6 trang 104 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình 9.25, biết rằng . Chứng minh rằng ΔABD ∽ ΔACE và ΔBOE ∽ ΔCOD.

Lời giải chi tiết

Hai tam giác ABD và ACE có: (theo giả thiết); góc A chung.

Do đó (g.g).

Hai tam giác BOE và COD có: (hai góc đối đỉnh);

.

Do đó (g.g).

Giải bài 7 trang 105 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Hai đường trung tuyến BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại điểm G (H.9.75). Chứng minh rằng tam giác GMN đồng dạng với tam giác GBC và tìm tỉ số đồng dạng 

Lời giải chi tiết

Hai tam giác GMN và GBC có (các cặp góc so le trong)

Do đó (g.g) với tỉ số đồng dạng bằng .

Giải bài 8 trang 105 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:

a) \(\frac{B\text{D}}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\), từ đó suy ra \(A\text{E}=\frac{AB.AC}{AB+AC}\)

b) ΔDFC ∽ ΔABC 

c) DF=DB

Lời giải chi tiết

a) Hai tam giác vuông HDA (vuông tại D) và AHC (vuông tại H) có: $\widehat{DAH}={{90}^{0}}-\widehat{ACB}=\widehat{HCA}$.

Do đó $\Delta HDA\backsim \Delta AHC$ (cặp góc nhọn).

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A, ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=41$, hay $BC=\sqrt{41}$ cm.

Mặt khác, trong tam giác vuông ABC với đường cao AH, ta có:

+) $AH.BC=2{{S}_{ABC}}=AB.AC$.

Do đó $AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{20}{\sqrt{41}}$ (cm).

+) $A{{B}^{2}}=BH.BC$. Do đó $BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{25}{\sqrt{41}}$ (cm).

+) $A{{C}^{2}}=CH.BC$. Do đó $CH=\frac{A{{C}^{2}}}{BC}=\frac{16}{\sqrt{41}}$ (cm).

+ $HD=\frac{BH.AC}{BC}=\frac{\frac{25}{\sqrt{41}}.4}{\sqrt{41}}=\frac{100}{41}$ (cm).

Giải bài 9 trang 106 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH = 12cm, CH = 9cm, BH = 16cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A

b) Chứng minh rằng MN ⊥ AC và CM ⊥ AN

c) Tính diện tích tam giác AMN 

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHC vuông tại H, ta có:

AC² = AH² + CH² = 225, hay AC = 15 cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AB² = AH² + BH² = 400, hay AB = 20 cm.

Mặt khác BC = BH + CH = 25 cm. Do đó BC² = AB² + AC². Vì vậy, theo định lí Pythagore đảo thì tam giác ABC vuông tại A.

b) Do MN // AB và AB $\bot $ AC nên MN $\bot $ AC.

$\Delta ACN$ có: AH $\bot $ CN (theo giả thiết), MN $\bot $ AC (chứng minh trên). Vậy M là trực tâm của $\Delta ACN$, do đó CM $\bot $ AN.

c) Ta có ${{S}_{AMN}}=\frac{AM.HN}{2}=\frac{AH.HB}{8}=24(c{{m}^{2}})$.

Giải bài 10 trang 106 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:

a) , từ đó suy ra ;

b) ΔDFC ∽ ΔABC;

c) DF = DB

Lời giải chi tiết

a) Kẻ đường thẳng qua D vuông góc và cắt AB tại K. Khi đó DK = AE.

Vì DE // AB, DK // AC nên và .

Suy ra .

Do vậy , hay (*)

Từ (*) suy ra , do đó .

Theo định lí Thalès, ta có: . Suy ra AE = .

b) Hai tam giác vuông DFC (vuông tại D) và ABC (vuông tại A) có góc nhọn C chung nên suy ra .

Do đó DF = DB.

Giải bài 11 trang 107 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Để tính được chiều cao gần đúng của kim tự tháp Ai Cập, người ta nắm 1 cây cọc cao 1m vuông góc với mặt đất và đo được bóng cây cọc trên mặt đất là 1,5m. Khi đó chiều dài bóng của kim tự tháp trên mặt đất là 208,2 m. Hỏi kim tự tháp cao bao nhiêu mét?

Lời giải chi tiết

Gọi chiều cao của kim tự tháp là h (m). Ta có: .

Suy ra h = 138,8, hay kim tự tháp cao 138,8 mét.

Giải bài 12 trang 107 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Từ căn hộ chung cư nhà mình, bạn Lan đứng cách cửa sổ 1m nhìn sang tòa nhà đối diện thì vừa nhìn thấy đúng tất cả 6 tầng của tòa nhà đó. Biết rằng cửa sổ nhà Lan cao 80cm và mỗi tầng của tòa nhà đối diện 4m. Hỏi khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến tòa nhà đối diện là bao nhiêu? 

Lời giải chi tiết

Gọi khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến toàn nhà đối diện là h (m). Ta có:

Suy ra h = 29. Vậy khoảng cách từ căn hộ nhà Lan đến tòa nhà đối diện là 29 mét.

Giải bài 13 trang 107 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 16 cm, AC = 12 cm. Kẻ đường phân giác BD (D thuộc AC). Tính độ dài các đoạn thẳng CD và AD.

Lời giải chi tiết

(H.9.31). Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A, ta được:

BC² = AB² + AC² = 400. Suy ra BC = 20cm.

Do BD là phân giác góc ABC nên:

$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}=\frac{AD+CD}{AB+BC}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$.

Suy ra $AD=\frac{AB}{3}=\frac{16}{3}cm,CD=\frac{BC}{3}=\frac{20}{3}cm.$.

Giải bài 14 trang 108 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Các đường thẳng qua E, F lần lượt vuông góc và cắt CH, BH tại P, Q. Chứng minh rằng PQ // BC và .

Lời giải chi tiết

(H.9.32). Vì P // BF (cùng vuông góc với CF) nên theo định lí Thales ta có , hay .

Tương tự, vì FQ // CE (cùng vuông góc với BE) nên , hay . Do vậy .

Theo định lí Thales đảo ta suy ra PQ // BC.

Mặt khác, hai tam giác vuông BHF (vuông tại F) và CHE (vuông tại E) đồng dạng vì có một cặp góc nhọn bằng nhau là (hai góc đối đỉnh). Suy ra .

Do vậy .

Hai tam giác HPQ và HEF có: (theo chứng minh trên), (hai góc đối đỉnh).

Do đó (c.g.c).