Bài tập cuối chương V
Giải bài 5.27 trang 87 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho \(L = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{n^3} - 2{n^2} + 1} \right)\). Giá trị của L là
A. \(L = 0\)
B. \(L = - \infty \)
C. \(L = + \infty \)
D.\(L = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhóm số hạng có số mũ lớn nhất ra ngoài. Áp dụng các quy tắc tính giới hạn để biến đổi và tính toán. (Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}{v_n} = + \infty \))
Lời giải chi tiết
Đáp án C
\(L = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{n^3} - 2{n^2} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^3}\left( {1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right) = + \infty \).
Giải bài 5.26 trang 87 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hai dãy số (un) và (vn) thỏa mãn và . Xét các khẳng định sau:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
Số khẳng định đúng là:
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta dựa vào lý thuyết sau để tìm đáp án đúng.
Lời giải chi tiết
Cho và , ta có:
;
;
với .
Đáp án C
Giải bài 5.28 trang 87 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Biết với a là tham số. Giá trị của là
A.
B. 0
C. 2
D. Không xác định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn. Từ đó tính ra tham số a và giá trị của .
Lời giải chi tiết
Đáp án B
Mà nên
Giải bài 5.29 trang 87 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho un=√n(√n+2−√n+1). Khi đó bằng
A.
B. 0
C.
D. 1
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đối với những biểu thức chứa hiệu của căn, chúng ta dùng phương pháp nhân liên hợp. Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
.
Đáp án C
Giải bài 5.30 trang 87 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Tính tổng
A.
B.
C.
D. .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn .
Lời giải chi tiết
Đáp án B
Ta thấy đây là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là và . Nên:
.
Giải bài 5.31 trang 87 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hàm số thỏa mãn và . Khẳng định đúng là:
A.
B.
C. Không tồn tại
D..
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu thì không tồn tại .
Lời giải chi tiết
Đáp án C.
Do và nên
Vậy không tồn tại .
Giải bài 5.32 trang 88 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hàm số f(x) thỏa mãn và . Biết giới hạn của khi tồn tại. Giá trị của m là
A.
B.
C.
D. Không tồn tại m
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào lý thuyết khi và chỉ khi để tính m.
Lời giải chi tiết
Đáp án A.
Giới hạn của khi tồn tại khi và chỉ khi .
Nên .
Giải bài 5.33 trang 88 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Biết hàm số có giới hạn khi . Giá trị của bằng
A.
B.
C.
D.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào lý thuyết khi và chỉ khi để tính giá trị .
Lời giải chi tiết
Đáp án C.
Giới hạn của khi tồn tại khi và chỉ khi .
Nên
.
Giải bài 5.35 trang 88 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho \(f(x) = \frac{{{x^2} - x}}{{|x|}}\). Khi đó, giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\) là
A. 0
B. -1
C. 1
D. Không tồn tại
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào lý thuyết: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\). Ta tính giới hạn trái và giới hạn phải để chứng minh giới hạn trên không tồn tại.
Lời giải chi tiết
Đáp án D.
Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2} - x}}{{|x|}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2} - x}}{{ - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} ( - x + 1) = 1\).
Mà: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} - x}}{{|x|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2} - x}}{x}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x - 1) = - 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x)\).
Vậy không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\).
Giải bài 5.36 trang 88 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} - x}}{{x}}\) là
A. \( + \infty \)
B. 0
C. -2
D. Không tồn tại
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c\).
- Với k là một số nguyên dương, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0\).
Đối với bài tập trên, ta có thể nhóm hạng tử số mũ cao nhất ra ngoài rồi rút gọn.
Lời giải chi tiết
Đáp án C
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2} - x}}{{x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{|x|\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} - x}}{{x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} - x}}{{ x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {-\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} - 1} \right) =- 2\).
Giải bài 5.37 trang 88 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hàm số . Mệnh đề đúng là
A. Hàm số liên tục trên
B. Hàm số liên tục trên
C. Hàm số liên tục trên
D. Hàm số liên tục trên .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số được gọi là liên tục trên nếu nó liên tục trên khoảng và
Lời giải chi tiết
Đáp án C.
Vì hàm số trên là hàm đa thức nên nó liên tục trên các khoảng , và .
Xét tại điểm , . Vậy hàm số không liên tục tại điểm .
Xét tại điểm , .
Vậy hàm số liên tục tại điểm .
Vậy hàm số liên tục trên .
Giải bài 5.38 trang 88 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Xét hàm số với m là tham số. Hàm số liên tục trên khi
A.
B.
C.
D..
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi
Lời giải chi tiết
Đáp án D.
Hàm số liên tục trên khi nó liên tục tại .
Ta có: .
Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi .
Giải bài 5.39 trang 89 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hàm số . Hàm số này liên tục trên
A.
B.
C.
D. .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm tập xác định của hàm số. Hàm số thường sẽ liên tục trên tập xác định của nó.
Lời giải chi tiết
Đáp án A
có tập xác định là . Vậy nên nó liên tục trên .
Giải bài 5.40 trang 89 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho phương trình . Mệnh đề đúng là
A. Phương trình có nghiệm âm
B. Phương trình có nghiệm trong khoảng .
C. Phương trình có nghiệm trong khoảng
D. Phương trình vô nghiệm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào lý thuyết để làm
Lời giải chi tiết
Nếu hàm số liên tục trên và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho .
Đáp án B.
Giải bài 5.41 trang 89 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho dãy số \(({u_n})\) thỏa mãn \(|{u_n}|\,\, \le 1\). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{n + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = + \infty \) (hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - \infty \)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\)
Lời giải chi tiết
Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{{n + 1}}\), ta có \(|{v_n}|\, = \frac{1}{{n + 1}}\). Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = 0\).
Giải bài 5.42 trang 89 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Tìm giới hạn của dãy số với .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính tổng từ 1 đến n: . Rồi dùng các quy tắc tính giới hạn dãy số để tìm ra kết quả.
Lời giải chi tiết
.
Từ đó, ta có .
Giải bài 5.43 trang 89 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a) \( - 0,(31)\)
b) \(2,(121)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tách các số thập phân vô hạn tuần hoàn thành tổng.
Lời giải chi tiết
a) \( - 0,(31) = - \left[ {\frac{{31}}{{100}} + \frac{{31}}{{{{100}^2}}} + ... + \frac{{31}}{{{{100}^n}}} + ...} \right] = - \frac{{31}}{{99}}\).
b) \(2,(121) = 2 + \frac{{121}}{{1000}} + \frac{{121}}{{{{1000}^2}}} + ... + \frac{{121}}{{{{1000}^n}}} + ... = 2\frac{{121}}{{999}} = \frac{{2119}}{{999}}\).
Giải bài 5.44 trang 89 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Cho hình vuông \({H_1}\) có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \({H_2}\). Lặp lại cách làm như trên với hình vuông \({H_2}\) để được hình vuông \({H_3}\).
Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông \({H_1},\,{H_2},\,{H_3},...,{H_n},...\) Gọi \({s_n}\) là diện tích của hình vuông \({H_n}\).
a) Tính tổng \({s_n}\).
b) Tính tổng \(T = {s_1} + {s_2} + ... + {s_n} + ...\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính lần lượt các cạnh hình vuông \({H_2}\), diện tích hình vuông \({H_2}\) rồi suy ra công thức tính diện tích \({H_1},\,{H_2},\,{H_3},...,{H_n},...\) Dùng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn để tính ra diện tích của hình vuông \({H_n}\).
Lời giải chi tiết
Cạnh của hình vuông \({H_2}\) là \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{5}{8}} a.\)
Khi đó \({s_2} = \frac{5}{8}{a^2} = \frac{5}{8}{s_1}\).
Lí luận tương tự, ta có \({s_3} = \frac{5}{8}{s_2},...,{s_n} = \frac{5}{8}{s_{n - 1}} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^{n - 1}}{a^2}\).
Từ đó \(T = {s_1} + {s_2} + ... + {s_n} + ... \)
\(= {a^2}\left[ {1 + \frac{5}{8} + {{\left( {\frac{5}{8}} \right)}^2} + ... + {{\left( {\frac{5}{8}} \right)}^{n - 1}} + ...} \right] = \frac{{8{a^2}}}{3}\).
Giải bài 5.45 trang 89 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Tìm a là số thực thỏa mãn .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào quy tắc tính giới hạn, ta tính ra thì a bằng bao nhiêu (quy về dạng giải phương trình ẩn a).
Lời giải chi tiết
Ta có
Do đó hoặc .
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!