Bài tập cuối chương V trang 122, 123, 124 Vở thực hành Toán 9

Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 122 vở thực hành Toán 9

Giải bài 5 trang 122, 123 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C).

a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì A nằm trên (O).

b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (B; BO) với đường tròn (O). Tính các góc của tam giác ABC.

c) Với cùng giả thiết câu b, tính độ dài cung AC và diện tích hình quạt nằm trong (O) giới hạn bởi các bán kính OA và OC, biết rằng .

Lời giải chi tiết

a) Gọi là bán kính của đường tròn.

Nếu thì . Khi đó, tam giác ABC có bằng R nên là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (góc BAC vuông).

Ngược lại, nếu tam giác ABC vuông tại A thì trung tuyến OA bằng một nửa cạnh huyền BC, nghĩa là . Do đó, điểm A nằm trên (O).

b) (H.5.45)

Vì nên khi A là một trong hai giao điểm đường tròn (B; BO) với đường tròn (O) thì tam giác ABO đều O vì . Do đó, .

Theo câu a, ABC là tam giác vuông tại A và có nên .

c) Từ câu b, ta có , suy ra sđ.

Mặt khác nên độ dài cung AC là .

Hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OA, OC ứng với cung nên diện tích của nó bằng .

Giải bài 6 trang 123, 124 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho AB là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn (O; 4cm). Gọi C và D lần lượt là các điểm đối xứng với A và B qua tâm O.

a) Hai điểm C và D có nằm trên đường tròn (O) không? Vì sao?

b) Biết rằng ABCD là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn AB và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB.

Lời giải chi tiết

a) Cách 1. Gọi bán kính của đường tròn là R. Do C và D là các điểm đối xứng với A và D qua O nên và .

Do đó, hai điểm C và D nằm trên đường tròn (O).

Cách 2. Do đường tròn là hình có tâm đối xứng là O nên khi và thì hai điểm đối xứng với A và B qua O cùng nằm trên (O).

b) (H.5.46) Vì ABCD là hình vuông nên hay . Suy ra số đo của cung nhỏ AB là 90 độ.

Số đo của cung lớn AB (cũng là cung ACB) là: .

Độ dài cung lớn AB là .

Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA, OB là .

Giải bài 7 trang 124 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, sao cho và . Vẽ các đường tròn (A; 1,5cm), (B; 3cm) và (C; 2cm). Hãy xác định các cặp đường tròn:

a) Cắt nhau;

b) Không giao nhau;

c) Tiếp xúc với nhau.

Lời giải chi tiết

(H.5.47)

Gọi và lần lượt là bán kính các đường tròn (A), (B), (C). Theo đề bài, ta có , , và . Ta có:

+) . Do đó (A) và (B) cắt nhau.

+) . Do đó (A) và (C) cắt nhau.

+) . Do đó, (B) và (C) tiếp xúc trong.

Không có cặp đường tròn nào không giao nhau.

Giải bài 8 trang 124, 125 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho tam giác ABC ( vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng:

a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA);

b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).

Lời giải chi tiết

(H.5.48)

a) Tam giác ABC vuông tại A nên , mà do đó BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Hai tam giác ABC và A’BC có:

BC là cạnh chung,

(cùng bằng bán kính của (B; AB)),

(cùng bằng bán kính của (C; AC))

Do đó, , suy ra , hay .

Mặt khác, nên BA’ là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Vậy BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA);

b) Ta có: và nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Tương tự, CA’ là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Vậy CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).

Giải bài 9 trang 125 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F (E và F khác A). Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.49).

a) Chứng minh rằng tứ giác OO’KI là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng .

c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO’KI là một hình chữ nhật?

Lời giải chi tiết

(H.5.50)

a) AOE là tam giác cân tại O (OA=OE) có OI là đường trung tuyến (vì I là trung điểm của AE) nên OI cũng là đường cao, tức là hay . Tương tự, đối với tam giác AO’F, ta có hay . Do đó, OI//KO’ (cùng vuông góc với d).

Tứ giác OO’KI có: OI//KO’, nên là hình thang vuông.

b) Theo đề bài, và nên ta có và .

Ta có: . Do đó, .

c) Khi d đi qua A thì tứ giác OO’KI luôn là hình thang vuông.

Nếu hình thang vuông đó là hình chữ nhật thì IK//OO’, hay d//OO’.

Ngược lại, nếu d//OO’ thì IK//OO’ nên OO’KI là hình chữ nhật.

Vậy để tứ giác OO’KI là hình chữ nhật thì d//OO’.

Giải bài 10 trang 126 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).

b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?

c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

Lời giải chi tiết

(H.5.51)

a) Gọi R, r lần lượt là bán kính của hai đường tròn (O) và (O’). Ta có nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại B.

b) Tam giác ODE cân tại O có OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ODE hay .

Tứ giác ADCE có hai đường chéo AC, DE cắt nhau tại H là trung điểm của mỗi đường nên ADCE là hình bình hành. Lại có tại H nên ADCE là hình thoi.

c) Tam giác CKB có đường trung tuyến KO’ và nên KCB là tam giác vuông tại K, suy ra hay (1).

Tương tự ta có hay (2)

Từ (1) và (2) suy ra CK//AD. Lại có AD//EC (vì ADCE là hình thoi). Do đó, ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d) Xét tam giác DEK vuông tại K có KH là KH là đường trung tuyến nên . Do đó, tam giác KHE cân tại H, suy ra .

Lại có, cân tại O’ nên .

Mặt khác (hai góc đối đỉnh)

Tam giác HEC vuông tại H nên , suy ra hay . Do đó, . Vậy KH là tiếp tuyến của đường tròn (O’).