Bài tập cuối chương VI

Giải bài 6.41 trang 20 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho a là số dương. Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt a  \cdot \sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[6]{a}}}\), ta được kết quả là

A. \(a\).

B. \({a^2}\).

C. \({a^{\frac{1}{3}}}\).

D. \({a^{\frac{1}{2}}}\).

Lời giải chi tiết

\(A = \frac{{\sqrt a  \cdot \sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[6]{a}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}}} = a\)

Chọn A

Giải bài 6.42 trang 20 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho a là số dương khác 1. Giá trị của \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{a^3}}}{a^2}\) là

A. \(\frac{2}{3}\).

B. \(\frac{3}{2}\).

C. \( - \frac{2}{3}\).

D. \( - \frac{3}{2}\).

Lời giải chi tiết

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{a^3}}}{a^2} = \frac{2}{3}{\log _a}a = \frac{2}{3}.1 = \frac{2}{3}\)

Chọn A

Giải bài 6.43 trang 20 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giá trị của biểu thửc \({4^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}3}}\) là

A. \(\frac{1}{3}\).

B. 3.

C. 81.

D. 9.

Lời giải chi tiết

\({4^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}3}} = {3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}4}} = {3^4} = 81\)

Chọn C

Giải bài 6.44 trang 21 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến?

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Xét hàm số mũ có nên hàm số đồng biến trên

Chọn C

Giải bài 6.45 trang 21 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến?

A. \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}x\).

B. \(y = {\rm{log}}x\).

C. \(y = {\rm{ln}}x\).

D. \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{e}{3}}}x\).

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{e}{3}}}x\) có \(0 < \frac{e}{3} < 1\) nên hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\frac{e}{3}}}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Chọn D

Giải bài 6.46 trang 21 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Với giá trị nào của thì đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng ?

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng

Chọn B

Giải bài 6.47 trang 21 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Với giá trị nào của thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành?

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành .

Chọn D

Giải bài 6.48 trang 21 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tập nghiệm của phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Chọn A

Giải bài 6.49 trang 21 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tập nghiệm của phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

ĐKXĐ:

(TMĐK)

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Chọn C

Giải bài 6.50 trang 21 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \ge {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}\) là

A. \(x \ge 2\).

B. \(x \le 2\).

C. \(x \ge 4\).

D. \(x \le 4\).

Lời giải chi tiết

\({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \ge {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} \Leftrightarrow x \le 4\)

Chọn D

Giải bài 6.51 trang 21 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nghiệm của bất phương trình \({\rm{log}}2\left( {x + 1} \right) > 1\) là

A. \(x > 4\).

B. \( - 1 < x < 4\).

C. \(x >  - \frac{1}{2}\).

D. \(x > \frac{e}{2} - 1\).

Lời giải chi tiết

\({\rm{log}}2\left( {x + 1} \right) > 1 \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right) > 10\)

\(\Leftrightarrow 2x + 2 > 10 \Leftrightarrow 2x > 8 \Leftrightarrow x > 4\).

Chọn A

Giải bài 6.52 trang 21 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hàm số có tập xác định là khi

A. .

B. hoặc .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác định là khi

Chọn D

Giải bài 6.53 trang 22 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính giá trị của biểu thức:

.

Lời giải chi tiết

Ta tính lần lượt như sau:

;

.

.

Thay các kết quả vào , ta được:

.

Vậy .

Giải bài 6.54 trang 22 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \({32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,25 \cdot {128^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}\)

b) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right) = 1\).

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x \ne 3,x \ne 7\). Khi đó, ta có:

\({32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,25 \cdot {128^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}} \Leftrightarrow {2^{{5^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}}}} = {2^{ - 2}} \cdot {2^{7\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{x - 7}}}} = {2^{ - 2 + \frac{{7\left( {x + 17} \right)}}{{x - 3}}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{x - 7}} =  - 2 + \frac{{7\left( {x + 17} \right)}}{{x - 3}}\)

\(\; \Leftrightarrow 5\left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right) =  - 2\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right) + 7\left( {x + 17} \right)\left( {x - 7} \right) \Leftrightarrow x = 10\)

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 10\).

b) Điều kiện: \(x > 1\). Khi đó, ta có:

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\).

Giải phương trình trên ta được hai nghiệm \({x_1} =  - 1,{x_2} = 2\).

Chỉ có nghiệm \(x = 2\) thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\).

Giải bài 6.55 trang 22 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3x - 1}} \ge 4 \cdot {2^x}\)

b) \(2{\rm{log}}\left( {x - 1} \right) > {\rm{log}}\left( {3 - x} \right) + 1\).

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3x - 1}} \ge 4 \cdot {2^x} \Leftrightarrow {2^{1 - 3x}} \ge {2^{2 + x}} \Leftrightarrow 1 - 3x \ge 2 + x \Leftrightarrow x \le  - \frac{1}{4}\).

b) Điều kiện: \(1 < x < 3\). Khi đó, ta có:

\(2{\rm{log}}\left( {x - 1} \right) > {\rm{log}}\left( {3 - x} \right) + 1 \Leftrightarrow {\rm{log}}{(x - 1)^2} > {\rm{log}}10\left( {3 - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} > 10\left( {3 - x} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 8x - 29 > 0\).

Giải bất phương trình này ta được \(x >  - 4 + 3\sqrt 5 \) hoặc \(x <  - 4 - 3\sqrt 5 \).

Kết hợp với điều kiện, ta được \( - 4 + 3\sqrt 5  < x < 3\).

Giải bài 6.56 trang 22 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số và trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng tức điểm nằm trên một đồ thị thì đối xứng với qua đường thẳng sẽ nằm trên đồ thị còn lại.

Lời giải chi tiết

a) Đồ thị của hai hàm số và trên cùng một hệ trục toạ độ như hình sau:

 

b) Xét điểm nằm trên đồ thị hàm số .

Viết phương trình đường thằng đi qua vuông góc với đường thẳng :

  

Toạ độ giao điểm của đường thẳng và đường thẳng là .

Gọi là điểm đối xứng của qua đường thằng . Ta tìm được . Khi đó thuộc đồ thị hàm số . Tương tự nếu điếm nằm trền đồ thị hàm số thì ta cũng có thể tìm toạ độ của điềm đối xứng với qua đường thẳng và chứng minh thuộc đồ thị hàm số .

Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng .

Chú ý: Tổng quát, có thề chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số và đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phẩn tư thứ nhất (tức là đường thẳng ).

Giải bài 6.57 trang 22 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 1} \right) - \dot 2\).

a) Tìm tập xác định của hàm số.

b) Tính \(f\left( {40} \right)\). Xác định điểm tương ứng trên đồ thị hàm số.

c) Tìm \(x\) sao cho \(f\left( x \right) = 3\). Xác định điểm tương ứng trên đồ thị hàm số.

d) Tìm giao điếm của đồ thị với trục hoành.

Lời giải chi tiết

\(f\left( x \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 1} \right) - 2\).

a) Tập xác định của hàm số là \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

b) \(f\left( {40} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2 \cdot 40 + 1} \right) - 2 = 2\).

Điểm tương ứng trên đồ thị hàm số là \(\left( {40;2} \right)\).

c) \(f\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 1} \right) - 2 = 3 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 1} \right) = 5 \Leftrightarrow 2x + 1 = {3^5} \Leftrightarrow x = 121\).

Điềm tương ứng trên đồ thị hàm số là \(\left( {121;3} \right)\).

d) Gọi \(A\left( {{x_0};0} \right)\) là giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 1} \right) - 2\) với trục hoành. Khi đó \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2{x_0} + 1} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow 2{x_0} + 1 = 9 \Leftrightarrow {x_0} = 4\).

Vậy giao điểm cần tìm là \(\left( {4;0} \right)\).

Giải bài 6.58 trang 22 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là \(4{\rm{\% }}\) thì chi phí \({\rm{C}}\) cho việc mua một loại hàng hoá hoặc sử dụng một dịch vụ nào đó sẽ được mô hình hoá bằng công thức: \(C\left( t \right) = P{(1 + 0,04)^t}\)

trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng năm) kể từ thời điểm hiện tại và \(P\) là chi phí hiện tại cho hàng hoá hoặc dịch vụ đó.

Giả sử hiện tại chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô là 800 nghìn đồng. Hãy ước tính chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô sau 5 năm nữa (kết quả tính theo đơn vị nghìn đồng và làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải chi tiết

Chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô sau 5 năm nữa là:

\(C\left( 5 \right) = 800{(1 + 0,04)^5} \approx 973{\rm{\;}}\)(nghìn đồng)

Giải bài 6.59 trang 23 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ từ khối lượng ban đầu \({m_0}\) được cho bởi công thức: \(m\left( t \right) = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{T}}}\), trong đó t là thời gian tính từ thời điểm ban đầu và \(T\) là chu kì bán rã của chất đó. Biết rằng chất phóng xạ polonium-210 có chu kì bán rã là 138 ngày. Từ khối lượng polonium-210 ban đầu \(100{\rm{\;g}}\), sau bao lâu khối lượng còn lại là:

a) \(50{\rm{\;g}}\)?

b) \(10{\rm{\;g}}\)?

(Kết quả tính theo ngày và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải chi tiết

a) Giải phương trình \(100{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{138}}}} = 50\), ta được \(t = 138\).

Vậy sau 138 ngày thi khối lượng polonium-210 còn \(50{\rm{\;g}}\).

b) Giải phương trình \(100{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{t}{{138}}}} = 10\), ta được \(t \approx 458,43\).

Vậy sau khoảng 458,43 ngày thì khối lượng polonium-210 còn \(10{\rm{\;g}}\).

Giải bài 6.60 trang 23 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cent âm nhạc là một đơn vị trong thang lôgarit của cao độ hoặc khoảng tương đối. Một quãng tám bằng 1200 cent. Công thức xác định chênh lệch khoảng thời gian (tính bằng cent) giữa hai nốt nhạc có tần số a và \(b\) là

\(n = 1200 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{a}{b}{\rm{.}}\)

(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008)

a) Tìm khoảng thời gian tính bằng cent khi tần số thay đổi từ \(443{\rm{\;Hz}}\) về \(415{\rm{\;Hz}}\).

b) Giả sử khoảng thời gian là 55 cent và tần số đầu là \(225{\rm{\;Hz}}\), hãy tìm tần số cuối cùng.

Lời giải chi tiết

a) Khoảng thời gian giữa hai nốt nhạc khi tần số thay đổi từ \(443{\rm{\;Hz}}\) về \(415{\rm{\;Hz}}\) là \(1200 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{443}}{{415}} \approx 113\) (cent).

b) Giải phương trình \(55 = 1200 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{225}}{b}\), ta được \(b \approx 218\).

Vậy tần số cuối cùng cần tìm là \(218{\rm{\;Hz}}\).