Bài tập cuối chương VI Toán 11 Cùng khám phá

Bài 6.20 trang 30 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(y = \frac{1}{{{3^x} - 3}}\)

b) \(y = \log \left( {2x - 3} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số xác định khi \({3^x} - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)

Vậy \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

b) Hàm số xác định khi \(2x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\)

Vậy \(D = \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)

Bài 6.21 trang 30 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Cho \({\log _a}b = 3,{\log _a}c =  - 2\). Hãy tính \({\log _a}x\) với:

a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c \)

b) \(x = \frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}\)

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}{\log _a}\left( {{a^3}{b^2}\sqrt c } \right) = {\log _a}{a^3} + {\log _a}{b^2} + {\log _a}\sqrt c \\ = 3 + 2{\log _a}b + \frac{1}{2}{\log _a}c = 3 + 2.3 + \frac{1}{2}.\left( { - 2} \right) = 8\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}{\log _a}\frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}} = {\log _a}{a^4} + {\log _a}\sqrt[3]{b} - {\log _a}{c^3}\\ = 4 + \frac{1}{3}{\log _a}b - 3{\log _a}c = 4 + \frac{1}{3}.3 - 3.\left( { - 2} \right) = 11\end{array}\)

Bài 6.22 trang 30 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Giải các phương trình:

a)

b)

c)

d)

Lời giải chi tiết

a)

Vậy phương trình có nghiệm là x = -2, x = -1/2

b)

Vậy phương trình có nghiệm là x = -3

c) ĐK:

Vậy phương trình vô nghiệm

d) ĐK:

Vậy phương trình có nghiệm x = 8

Bài 6.23 trang 30 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Giải các bất phương trình:

a) \({2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\)

b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x - 5}} > {3^{{x^2} + 2x}}\)

c) \(\log \left( {{x^2} + x - 2} \right) \ge \log \left( {x - 1} \right)\)

d) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - \frac{1}{2}} \right) > 1\)

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}{2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\\ \Leftrightarrow {2^{2x - 3}}\left( {{2^2} + 2 + 1} \right) \ge 448\\ \Leftrightarrow {2^{2x - 3}}.7 \ge 448\\ \Leftrightarrow {2^{2x - 3}} \ge 64\\ \Leftrightarrow {2^{2x - 3}} \ge {2^6}\\ \Leftrightarrow 2x - 3 \ge 6\\ \Leftrightarrow x \ge \frac{9}{2}\end{array}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(\left[ {\frac{9}{2};\left. { + \infty } \right)} \right.\)

b)

\(\begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x - 5}} > {3^{{x^2} + 2x}}\\ \Leftrightarrow {3^{5 - 2x}} > {3^{{x^2} + 2x}}\\ \Leftrightarrow 5 - 2x > {x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 < 0\\ \Leftrightarrow  - 5 < x < 1\end{array}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(\left( { - 5;1} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\log \left( {{x^2} + x - 2} \right) \ge \log \left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 \ge x - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ge 0\\x \ge 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \ge 1\end{array}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(\left[ {\left. {1; + \infty } \right)} \right.\)

d)

\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - \frac{1}{2}} \right) > 1\\ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - \frac{1}{2}} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 0 < {x^2} - \frac{1}{2} < \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} < {x^2} < 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{1}{2}}  < x < 1\\ - \sqrt {\frac{1}{2}}  > x >  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(\left( { - 1; - \sqrt {\frac{1}{2}} } \right) \cup \left( {\sqrt {\frac{1}{2}} ;1} \right)\)

Bài 6.24 trang 30 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Vi khuẩn Escherichia coli (thường được viết tắt là E.coli) là một trong những loài vi khuẩn chính kí sinh trong đường ruột của động vật máu nóng, gây tiêu chảy và các bệnh đường ruột (nguồn: https://ylamsang.net/vi-khuan-e-co-li-gay-benh-escherichia-coli/). Khi nuôi cấy vi khuẩn E.coli trong môi trường nước thịt ở nhiệt độ 37 độ C, cứ sau 20 phút thì một tế bào vi khuẩn phân chia thành hai tế bào. Biết số lượng tế bào nuôi cấy ban đầu là 60.

a) Tìm số lượng tế bào sau 8 giờ.

b) Khi nào quần thể vi khuẩn sẽ nhiều hơn 20 000 tế bào?

Lời giải chi tiết

a) Hàm số biểu diễn số lượng tế bào sau khi phân chia là:

Trong đó k là thứ tự lần phân chia

Sau 8 giờ thì tế bào phân chia được 24 lần. Vậy số lượng tế bào sau 8 giờ là: (tế bào)

b) Ta có:

Vậy sau 9.20:60 = 3 giờ thì quần thể vi khuẩn sẽ nhiều hơn 20 000 tế bào.

Bài 6.25 trang 30 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Dân số của Việt Nam năm 2009 là 85 846 997 người và năm 2019 là 96 208 984 người (nguồn: https://dangcongsan.vn/xa-hoi/infographic-dan-so-viet-nam-qua-5-lan-tong-dieu-tra-dan-so-545359.html).

a) Sử dụng mô hình tăng trưởng mũ S = A.e^rt  (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm) và các số liệu dân số trong 2 năm 2009, 2019 để dự đoán dân số năm 2039 và 2049.

b) Sử dụng mô hình ở câu a, dự đoán xem vào năm bao nhiêu dân số Việt Nam vượt ngưỡng 150 triệu người.

Lời giải chi tiết

a) Lấy năm 2009 là mốc

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = A.{e^{rt}}\\ \Leftrightarrow 96207984 = 85846997.{e^{r.10}}\\ \Leftrightarrow {e^{r10}} \approx 1,121\\ \Leftrightarrow 10r = \ln 1,121\\ \Leftrightarrow r \approx 0,0114\end{array}\)

\( \Rightarrow S = 85846997.{e^{0,0114t}}\)

Dân số năm 2039 (Sau 30 năm) là: \(85846997.{e^{0,0114.30}} = 120851994\)(người)

Dân số năm 2049 (Sau 40 năm) là: \(85846997.{e^{0,0114.40}} \approx 135445129\) (người)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}85846997.{e^{0,0114t}} = 150000000\\ \Leftrightarrow {e^{0,0114t}} \approx 1,7473\\ \Leftrightarrow 0,0114t = \ln 1,7473\\ \Leftrightarrow t \approx 49\end{array}\)

Vậy vào năm 2068 thì dân số Việt Nam vượt ngưỡng 150 triệu người.

Bài 6.26 trang 30 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Tập xác định của hàm số \(y = \log \frac{{x - 2}}{{1 - x}}\) là

A. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

B. (1; 2)

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {1;2} \right\}\)

Lời giải chi tiết

Hàm số xác định khi \(\frac{{x - 2}}{{1 - x}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\1 - x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 < 0\\1 - x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {1 < x < 2} \right.\)

Chọn đáp án B

Bài 6.27 trang 31 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Với các số thực dương a, b bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \({\log _2}\frac{{2{a^3}}}{b} = 1 + {\log _2}a + {\log _2}b\)

B. \({\log _2}\frac{{2{a^3}}}{b} = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a - {\log _2}b\)

C. \({\log _2}\frac{{2{a^3}}}{b} = 1 + 3{\log _2}a - {\log _2}b\)

D. \({\log _2}\frac{{2{a^3}}}{b} = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a + {\log _2}b\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _2}\frac{{2{a^3}}}{b} = {\log _2}2 + {\log _2}{a^3} - {\log _2}b\\ = 1 + 3{\log _2}a - {\log _2}b\end{array}\)

Chọn đáp án C

Bài 6.28 trang 31 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _{0,5}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{0,5}}\left( {2x - 1} \right)\) là

A. \(S = \left( {\frac{1}{2};2} \right)\)

B. \(S = \left( { - 1;2} \right)\)

C. \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\)

D. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _{0,5}}\left( {x + 1} \right) < {\log _{0,5}}\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x + 1 > 2x - 1\\ \Leftrightarrow x < 2\end{array}\)

Chọn đáp án C

Bài 6.29 trang 31 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x + 1} \right) = 2\) là

A. x = 5/2

B. x = 2

C. x = 7/2

D. x = 4

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {2x + 1} \right) = 2\,\left( {x >  - \frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + 1} \right) = {\log _3}9\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = 9\\ \Leftrightarrow x = 4\left( {{\rm{TM}}} \right)\end{array}\)

Chọn đáp án D

Bài 6.30 trang 31 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{x - 3}} > 8\) là

A. \(\left( {3; + \infty } \right)\)

B. \(\left( { - \infty ;6} \right)\)

C. \(\left( {6; + \infty } \right)\)

D. \(\left( {3;6} \right)\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{2^{x - 3}} > 8\\ \Leftrightarrow {2^{x - 3}} > {2^3}\\ \Leftrightarrow x - 3 > 3\\ \Leftrightarrow x > 6\end{array}\)

Chọn đáp án C

Bài 6.31 trang 31 SGK Toán 11 tập 2 – Cùng khám phá

Đề bài

Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _3}\left( {25 - {x^2}} \right) \le 2\) là

A. \(\left( {\left. { - 5; - 4} \right] \cup \left[ {\left. {4;5} \right)} \right.} \right.\)

B. \(\left( {\left. { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {\left. {4; + \infty } \right)} \right.} \right.\)

C. \(\left( {4;5} \right)\)

D. \(\left[ {\left. {4; + \infty } \right)} \right.\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {25 - {x^2}} \right) \le 2\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {25 - {x^2}} \right) \le {\log _3}9\\ \Leftrightarrow 0 < 25 - {x^2} \le 9\\ \Leftrightarrow  - 25 <  - {x^2} \le  - 16\\ \Leftrightarrow 25 > {x^2} \ge 16\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 > x \ge 4\\ - 5 < x \le  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn đáp án A