Bài tập cuối chương VII

Giải bài 7.38 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?

A. \(16{x^2} - 5{y^2} =  - 80\)

B. \({x^2} = 4y\)

C. \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

D. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Lời giải chi tiết

Nhìn vào dạng tổng quát của Hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Chọn C.

Giải bài 7.39 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( { - 2;3} \right)\). Phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB là:

A. \(x - 3y + 11 = 0\)

B. \(x - 3y + 1 = 0\)

C. \( - x - 3y + 7 = 0\)

D. \(3x + y + 3 = 0\)

Lời giải chi tiết

Phương trình đường thẳng đi qua B vuông góc với AB có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3} \right)\) là:

\( - 1\left( {x + 2} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \)

\(\Rightarrow  - x + 3y - 11 = 0 \Rightarrow x - 3y + 11 = 0\).

Chọn A.

Giải bài 7.40 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho điểm \(A\left( {2;3} \right)\) và đường thẳng \(d:x + y + 3 = 0\). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:

A. \(\frac{8}{{\sqrt {13} }}\)

B. \(4\sqrt 2 \)

C. 8

D. \(2\sqrt 2 \)

Lời giải chi tiết

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:

\(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {2 + 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 \).

Chọn B.

Giải bài 7.41 trang 47 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(d:x - 2y - 5 = 0\) và \(k:x + 3y + 3 = 0\). Góc giữa hai đường thẳng d và k là:

A. \({30^ \circ }\)

B. \({135^ \circ }\)

C. \({45^ \circ }\)   

D. \({60^ \circ }\)

Lời giải chi tiết

+ \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;3} \right)\).

+ \(\cos\varphi  = \frac{{\left| {1.1 - 2.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( 3 \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi  = {45^ \circ }\).

Chọn C.

Giải bài 7.42 trang 48 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\). Tâm I và bán kính R của đường tròn \(\left( C \right)\) là:

A. \(I\left( {2; - 3} \right),R = 9\)

B. \(I\left( { - 2;3} \right),R = 3\)

C. \(I\left( { - 2;3} \right),R = 9\)

D. \(I\left( {2; - 3} \right),R = 3\)

Lời giải chi tiết

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right),R = 3\).

Chọn D.

Giải bài 7.43 trang 48 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\). Điểm nào sau đây là một tiêu điểm của \(\left( E \right)\)?

A. \(\left( {0;3} \right)\) 

B. \(\left( {4;0} \right)\) 

C. \(\left( {3;0} \right)\) 

D. \(\left( {0;4} \right)\)

Lời giải chi tiết

Elip \(\left( E \right)\) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) có \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt {16 - 7}  = 3\) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right),{F_2}\left( {3;0} \right)\).

Chọn C.

Giải bài 7.44 trang 48 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 2; - 4} \right)\) có phương trình là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y =  - 1 - 3t\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 - t\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y =  - 1 - 4t\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

Phương trình đường thẳng AB có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 3} \right) =  - 3\left( {1;1} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 2; - 4} \right)\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

Chọn D.

Giải bài 7.45 trang 48 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hypebol \(\left( H \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{13}} = 1\). Tiêu cực của hypebol là:

A. 7  

B. 14

C. \(2\sqrt {23} \) 

D. \(\sqrt {23} \)

Lời giải chi tiết

+ \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {36 + 13}  = 7\).

+ Tiêu cự \(2c = 2.7 = 14\).

Chọn B.

Giải bài 7.46 trang 48 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai điểm \(A\left( {0; - 2} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\). Phương trình đường tròn tâm A đi qua điểm B là:

A. \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 40\)

B. \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\)

C. \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 40\)

D. \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10\)

Lời giải chi tiết

+ Đường tròn tâm A đi qua B \( \Rightarrow R = AB = \sqrt {{2^2} + {6^2}}  = \sqrt {40} \).

+ Phương trình đường tròn tâm A, \(R = \sqrt {40} \) là: \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 40\).

Chọn A.

Giải bài 7.47 trang 48 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( {2;2} \right)\) là:

A. \({x^2} = 2y\)  

B. \({x^2} = 4y\)

C. \({x^2} = y\)    

D. \(y = 2{x^2}\)

Lời giải chi tiết

+ Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) có dạng \(y = a{x^2}\).

+ \(\left( P \right)\) đi qua \(E\left( {2;2} \right) \Rightarrow 2 = a{.2^2} \Rightarrow a = \frac{1}{2}\).

\( \Rightarrow {x^2} = 2y\).

Chọn A.

Giải bài 7.48 trang 48 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\) và điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) thuộc đường tròn. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M là:

A. \(y + 1 = 0\)     

B. \(y = 0\)

C. \(x + 1 = 0\)     

D. \(x - 1 = 0\)

Lời giải chi tiết

+ \(\left( C \right)\) có \(I\left( { - 1; - 1} \right),R = 2\).

+ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M có vector pháp tuyến \(\overrightarrow {IM}  = \left( {2;0} \right) = 2\left( {1;0} \right)\) là:

\(1\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow x - 1 = 0\).

Chọn D.

Giải bài 7.49 trang 49 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng \(d:4x + 3y - 2 = 0\) và đường thẳng \(k:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và k là:

A. Trùng nhau     

B. Song song       

C. Cắt nhau nhưng không vuông góc 

D. Vuông góc

Lời giải chi tiết

+ \(d:4x + 3y - 2 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {4;3} \right)\)

+ \(k:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 2 - 4t\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {{v_k}}  = \left( {3; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_k}}  = \left( {4;3} \right) = \overrightarrow {{n_d}} \)

\(\Rightarrow \) Hai đường thẳng song song hoặc với nhau.

Xét \(A\left( { - 1;2} \right) \in k\), ta thấy \(A \in d\) \(\Rightarrow \) Hai đường thẳng trùng nhau.

Chọn A.

Giải bài 7.50 trang 49 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Phương trình chính tắc của elip \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(M\left( {8;0} \right)\) và có tiêu cự bằng 6 là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1\) 

B. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{28}} = 1\)

C. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{73}} = 1\)   

D. \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{55}} = 1\)

Lời giải chi tiết

+ Vì \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(M\left( {8;0} \right)\) nên ta có:

\(\frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow a = 8\).

+ \(\left( E \right)\) có tiêu cự là \(2c = 6\) nên ta có:

\(c = 3 \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = {8^2} - {3^2} = 55\).

+ Phương trình chính tắc \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{55}} = 1\).

Chọn D.

Giải bài 7.51 trang 49 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho điểm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và đường thẳng \(d:x - y + 2 = 0\). Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là:

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\)   

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\)   

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 8\)

Lời giải chi tiết

+ \(d\left( {I,d} \right) = R = \frac{{\left| {1 + 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \).

+ Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) bán kính \(R = 2\sqrt 2 \) là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\).

Chọn C.

Giải bài 7.52 trang 49 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0\). Phương trình đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là \(2\sqrt 2 \) là

A. \(x + y + 1 = 0\) và \(x + y + 3 = 0\) 

B. \(x - y - 1 = 0\)

C. \(x - y + 3 = 0\)

D. \(x - y + 3 = 0\) và \(x - y - 1 = 0\)

Lời giải chi tiết

+ d và d’ song song với nhau

\( \Rightarrow d':x - y + c = 0\) \(\left( {c \ne 3} \right)\).

+ \(d\left( {d,d'} \right) = 2\sqrt 2  \)

\(\Rightarrow \frac{{\left| {c - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {c - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2\)

\(  \Rightarrow \left| {c - 3} \right| = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c = -1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow d':x - y + 7 = 0\) hoặc \(d':x - y - 1 = 0\).

Chọn B.

Giải bài 7.53 trang 49 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng , cho điểm và vecto . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và nhận là một vecto chỉ phương.

Lời giải chi tiết

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua , nhận là vecto chỉ phương:

Giải bài 7.54 trang 49 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(N\left( {2; - 1} \right)\) và vecto \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 1} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua N và nhận \(\overrightarrow n \) là một vecto pháp tuyến.

Lời giải chi tiết

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(N\left( {2; - 1} \right)\), nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 1} \right)\) làm vecto pháp tuyến:

\(3(x - 2) - 1(y + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 7 = 0\).

Giải bài 7.55 trang 49 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC với \(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {3;5} \right),C\left( { - 2;4} \right)\).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tham số của AB đi qua A và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right) = 2\left( {1;3} \right)\).

Phương trình tham số của AB đi qua \(A\left( {1; - 1} \right)\) và có vecto chỉ phương là \(\left( {1;3} \right)\) là :\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 3t\end{array} \right.\)

b) Phương trình đường cao AH đi qua A và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 1} \right)\) là:

\(5\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow 5x + y - 4 = 0\).

c) \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {1; - 5} \right) \)

\(\Rightarrow BC:1\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 5} \right) = 0 \)

\(\Rightarrow BC:x - 5y + 22 = 0\).

\(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 - 5\left( { - 1} \right) + 22} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} }} = \frac{{28}}{{\sqrt {26} }} = \frac{{14\sqrt {26} }}{{13}}\).

d) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;5} \right) \).

\(\Rightarrow \cos\left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {85} }}\).

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {1 - \cos^2\alpha }  = \frac{7}{{\sqrt {85} }}\).

Giải bài 7.56 trang 50 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\).

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB.

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {1^2}}  = \sqrt {17} \).

Phương trình đường tròn tâm A, bán kính \(R = \sqrt {17} \) là:

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 17\).

b) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 4} \right)\)

Phương trình đường thẳng AB đi qua \(A\left( { - 1;0} \right)\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 4} \right)\) là:

\(1\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 0} \right) = 0 \Rightarrow x - 4y + 1 = 0\).

c) Đường tròn O tiếp xúc với AB

\( \Rightarrow d\left( {O,AB} \right) = R \Rightarrow \frac{{\left| {0 - 4.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\).

Phương trình đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) có \(R = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\) là:

\({x^2} + {y^2} = \frac{1}{{17}}\).

Giải bài 7.57 trang 50 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\).

a) Tìm tọa độ I và bán kính R của \(\left( C \right)\).

b) Chứng minh rằng điểm \(M\left( {5;1} \right)\) thuộc \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\) tại M.

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \)

\(\Rightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\)

\( \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right),R = 5\).

b) \(\overrightarrow {IM}  = \left( {3;4} \right) \Rightarrow IM = 5 = R \Rightarrow M \in \left( C \right)\).

Phương trình tiếp tuyến d của \(\left( C \right)\) tại M có \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {IM}  = \left( {3;4} \right)\) và đi qua \(M\left( {5;1} \right)\) là:

\(3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 19 = 0\).