Bài tập cuối chương VII

Giải bài 7.41 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P). Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Vì a vuông góc với mặt phẳng , đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) suy ra .

Giải bài 7.42 trang 41 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , đường thẳng vuông góc với đường thẳng . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng cắt mặt phẳng .

B. Đường thẳng song song mặt phẳng .

C. Đường thẳng nằm trên mặt phẳng .

D. Đường thẳng nằm trên mặt phẳng hoặc song song mặt phẳng .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng nằm trên mặt phẳng hoặc song song với mặt phẳng .

Giải bài 7.43 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Đặt .

.

.

Giải bài 7.44 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng , côsin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Gọi là trung điểmcủa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ⇒ .

Khi đó là hình chiếu vuông góc của lên .

.

Tam giác đều cạnh a nên .

Ta có nên , suy ra vuông tại .

⇒ .

Vậy .

Giải bài 7.45 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện đều có cạnh bằng , côsin của góc giữa hai mặt phẳng và bằng

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Ta có: .

Gọi là trung điểm .

Khi đó dễ dàng chứng minh được và .

.

Ta dễ tính được: .

Áp dụng hệ quả của định lý cô sin trong tam giác ta có:

.

Giải bài 7.46 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Khoản cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng

A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Lời giải chi tiết

Tính khoảng cách từ \(O\) tới \(mp\left( {SBC} \right)\):

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).

Theo giả thiết \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \supset BC\).

\( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SO \subset \left( {SOE} \right)\\BC \bot OE \subset \left( {SOE} \right)\\OE \cap SO = O\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(BC \bot \left( {SOE} \right)\) mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow \) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SOE} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(SE\)\( \Rightarrow OH \bot SE = \left( {SBC} \right) \cap \left( {SOE} \right)\), suy ra \(OH \bot \left( {SBC} \right)\) nên \(d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH\).

Ta có \(SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Trong \(\Delta SOE\) vuông tại \(O\), ta có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}}\) \( \Rightarrow \) \(OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\)

\( \Rightarrow \)\(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Giải bài 7.47 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng , gọi là giao điểm của và . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

A. .

B. .

C. ..

D. .

Lời giải chi tiết

Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh; là hình chiếu vuông góc của trên

Vì nên

.

Ta có .

Khi đó .

Tam giác vuông tại nên .

Tam giác vuông tại nên

.

Vậy .

Giải bài 7.48 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BB’ bằng.

A. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

B. \(\frac{{a\sqrt {14} }}{4}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{4}\).

D. \(\frac{{a\sqrt {14} }}{2}\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).

\(B'C \cap BC' = K\).

\(H\) là trung điểm \(KC\).

Do tứ giác \(BCC'B'\) là hình vuông suy ra \(B'C \bot BC';HM \bot B'C\,\,(1)\)

Dễ thấy \(AM \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AM \bot B'C{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,\,\,(2)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow \left( {AMH} \right) \bot B'C \Rightarrow AH \bot B'C\).

Từ đó suy ra khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng \(B'C\) bằng \(AH\).

Ta có \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};HM = \frac{{BK}}{2} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{4}\).

Xét tam giác \(AMH\) vuông tại \(M\) ta có \(AH = \sqrt {A{M^2} + H{M^2}}  = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}\).

Vậy, khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng \(B'C\) bằng \(\frac{{a\sqrt {14} }}{4}\).

Giải bài 7.49 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Thể tích khối tứ diện ABC’D’ bằng

A. $\frac{a^3}{3}$.

B. .

C. .

D. .

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Ta có .

Mà và

.

Do đó .

Cách 2: Sử dụng công thức .

.

Giải bài 7.50 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi M là trung điểm của AA’. Tỉ số của thể tích khối chóp M.ABCD và khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng

A. \(\frac{1}{3}\).

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{1}{6}\).

D. \(\frac{2}{3}\).

Lời giải chi tiết

\(MA = \frac{1}{2}A'A \Rightarrow d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A',\left( {ABCD} \right)} \right)\).

\({V_{M.ABCD}} = \frac{1}{3}d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}} \)

\(= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( {A',\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}} \)

\(= \frac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\).

Tỉ số \(\frac{{{V_{M.ABCD}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{1}{6}\).

Giải bài 7.51 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và $SC=a\sqrt{2}$. Gọi H là trung điểm cạnh AB.

a) Chứng minh rằng .

b) Tính theo thể tích khối chóp .

c) Tính theo khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: , .

Suy ra .

Do đó tam giác SHC vuông tại H.

Hay , lại có .

Nên .

b) Ta có

Suy ra

c) Vì H là trung điểm của AB nên d(A, (SBD)) = 2.d(H, (SBD)). Kẻ HK vuông góc với BD tại K, HQ vuông góc với SK tại Q. Khi đó suy ra d(H, (SBD)) = HQ.

ta tính được mà tam giác SHK vuông tại H, đường cao HQ nên suy ra , do đó d(A,(SBD))= .

Giải bài 7.52 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp \left(ABCD\right)$ biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và $SA=a\sqrt{2}$.

a) Chứng minh rằng$\left(SAC\right)\perp \left(SBD\right)$ và $\left(SAD\right)\perp \left(SCD\right)$.

b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh $\left(ACF\right)\perp \left(SBC\right)$ và $\left(AEF\right)\perp \left(SAC\right)$.

c) Tính theo a khoản cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $BD\perp AC,SA\perp \left(ABCD\right)$ nên $SA\perp BD$, suy ra $BD\perp \left(SAC\right)$, mà mặt phẳng $\left(SBD\right)$ chứa đường thẳng $BD$, do đó $\left(SBD\right)\perp \left(SAC\right)$.

Ta có: $CD\perp AD,CD\perp SA$, suy ra $CD\perp \left(SAD\right)$, mà mặt phẳng $\left(SCD\right)$ chứa đường thẳng $CD$, do đó $\left(SCD\right)\perp \left(SAD\right)$.

b) Ta có: $AD\perp \left(SAB\right)$ nên , mà suy ra , do đó .

Ta lại có nên , suy ra , mà mặt phẳng chứa đường thẳng nên .

Vì nên .

Tương tự, ta có nên , suy ra , mà mặt phẳng chứa đường thẳng nên .

c) Gọi là giao điểm của và , kẻ tại , mà nên , suy ra là đoạn vuông góc chung của và , hay .

Ta có: đồng dạng với  nên , suy ra .

Vậy .

Giải bài 7.53 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, cạnh bên $SA=\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Gọi lần lượt là đường cao của tam giác và tam giác .

a) Chứng minh rằng .

b) Tính số đo của góc nhị diện .

c) Tính theo a thể tích khối chóp .

Lời giải chi tiết

a) Gọi là giao điểm của và .

Ta có: nên , mà , suy ra .

Do đó .

b) Vì đi qua và nên , ta tính được .

Do đó tam giác đều, suy ra . 

Vậy .

c) Ta có: , suy ra .

Giải bài 7.54 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng có và số đo của góc nhị diện bằng .

a) Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

b) Tính theo thể tích khối lăng trụ .

Lời giải chi tiết

a) Kẻ vuông góc với tại vuông góc với tại thì , suy ra .

Góc nhị diện bằng , suy ra .

Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác , ta có:

, suy ra .

Do đó .

Vì tam giác vuông cân tại nên .

Vậy .

b) Thể tích khối lăng trụ là

Giải bài 7.55 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lập phương có cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh .

a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt .

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng và .

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

, suy ra thể tích khối chóp cụt là:

 

b) Vì nên , do đó:

Vì là trung điểm của nên .

Đặt thì , suy ra .

Vậy .

Giải bài 7.56 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật được đặt trên một mái nhà nghiêng so với mặt đất nằm ngang góc , , , . Đáy bể là hình chữ nhật . Các điểm cùng ở độ cao (so với mặt đất), các điểm ở độ cao lớn hơn so với độ cao của các điểm . Khi nước trong bể phẳng lặng người ta đo được khoảng cách giữa đường mép nước ở mặt phẳng và mặt đáy của bể là . Tính thế tích của phần nước trong bể.

Lời giải chi tiết

Gọi MN là đường mép nước ở trên mặt (ABB'A'), EF là đường mép nước trên mặt (CDD'C').

Kẻ MH vuông góc với DD' tại H thì HF = MH.tan10° = 1,5.tan10° (m).

Từ H ta kẻ HK // EF, với K thuộc CC'.

Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.MNKH là 1,5.1.0,8 = 1,2 .

Thể tích khối lăng trụ MHF.NKE là .

Vậy thể tích phần nước trong bể là .