Bài tập cuối chương VIII

Giải bài 8.18 trang 58 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Có 5 nhà xe vận chuyển hành khách giữa Hà Nội và Hải Phòng. Số cách để một người đi từ Hà Nội tới Hải Phòng rồi sau đó quay lại Hà Nội bằng hai nhà xe khác nhau là

A. 5

B. 10

C. 15

D. 20

Lời giải chi tiết

- Từ Hà Nội tới Hải Phòng có 5 cách chọn nhà xe.

- Để quay lại Hà Nội bằng một nhà xe khác thì có 5 - 1 = 4 cách.

Theo quy tắc nhân thì có số cách đi là: 5.4 = 20 cách.

Chọn D.

Giải bài 8.19 trang 58 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Số các số tự nhiên chẵn có ba chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 là

 A. 224

 B. 280

 C. 324

D. Không số nào trong các số đó.

Lời giải chi tiết

- Chọn chữ số hàng đơn vị có 4 cách (2, 4, 6, 8) do số đó là số chẵn.

Vì các chữ số đôi một khác nhau nên:

- Chọn chữ số hàng chục có 8 cách (khác chữ số hàng đơn vị).

- Chọn chữ số hàng trăm có 7 cách (khác chữ số hàng đơn vị và hàng chục).

Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là: 4. 7. 8 = 224 số.

Chọn A

Giải bài 8.20 trang 58 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Số các số tự nhiên trong khoảng từ 3 000 đến 4 000, chia hết cho 5, các chữ số đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là

A. \(C_4^2\)

B. \(A_4^2\)

C. \(A_5^2\)

D. \(C_6^4\)

Lời giải chi tiết

Các số tự nhiên trong khoảng từ 3 000 đến 4 000, chia hết cho 5 thì có chữ số hàng nghìn là 3 và chữ số hàng đơn vị là 5.

Số cần tìm có dạng \(\overline {3ab5} \), với \(a,b\) khác nhau và \(a,b\) chọn trong các chữ số 1; 2; 4; 6.

Khi đó số bộ hai số khác nhau, có sắp thứ tự, lấy ra từ 4 số đó là: \(A_4^2\).

Chọn B

Giải bài 8.21 trang 58 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho số nguyên dương . Người ta đánh dấu n điểm phân biệt trên một đường tròn. Biết rằng số các hình tam giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu bằng số các tứ giác với các đỉnh là các điểm được đánh dấu. Giá trị của n là

A. 4

B. 6

C. 7

D. 9

Lời giải chi tiết

Mỗi tam giác được xác định bởi ba điểm đánh dấu nên số tam giác với n điểm được đánh dấu là .

Tương tự số tứ giác với n điểm được đánh dấu là

Số tam giác bằng số tứ giác nên ta có:

.

Chọn C.

Giải bài 8.22 trang 58 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Có 3 ứng viên cho 1 vị trí làm việc. Hội đồng tuyển dụng có 5 người, mỗi người bầu cho đúng 1 ứng viên. Số cách bầu của hội đồng là

A. \(C_5^3\)

B. \({5^3}\)

C. \({3^5}\)

D. Không số nào trong các số đó

Lời giải chi tiết

Mỗi thành viên có 3 cách bầu khác nhau và số thành viên hội đồng là 5 nên có số cách bầu là \(3.3.3.3.3 = {3^5}\).

Chọn C.

Giải bài 8.23 trang 58 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tại một cuộc họp của học sinh các lớp 10A, 10BB, 10C, 10D và 10E, ban tổ chức đề nghị đại diện của mỗi lớp trình bày một báo cáo. Bạn đại diện của lớp 10A đề nghị được trình bày báo cáo ngay trước đại diện của lớp 10B và được ban tổ chức đồng ý. Số cách xếp chương trình là

A. 24

B. 36

C. 48

D. 30.

Lời giải chi tiết

Gọi thứ tự các bài báo cáo là 1, 2, 3, 4, 5. Có 4 phương án sắp xếp báo cáo của đại diện lớp 10B ngay sau báo cáo đại diện của 10A là:

- 10A báo cáo 1, 10B báo cáo 2.

- 10A báo cáo 2, 10B báo cáo 3.

- 10A báo cáo 3, 10B báo cáo 4.

- 10A báo cáo 4, 10B báo cáo 5.

Với mỗi phương án ta sắp xếp thứ tự đại diện của 10C, 10D, 10E theo thứ tự bất kì vào vị trí các báo cáo còn lại.

Do đó với mỗi phương án thì số cách sắp xếp là: 3! = 6 (cách).

Theo quy tắc cộng, số cách sắp xếp chương trình là:

6 + 6 + 6 + 6 = 24 (cách).

Chọn A

Giải bài 8.24 trang 58 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Người ta muốn thành lập một uỷ ban gồm 6 thành viên, trong đó có ít nhất 3 thành viên nữ từ một nhóm đại biểu gồm 6 nam và 4 nữ. Số các cách thành lập uỷ ban như vậy là

A. 100

B. 210

C. 60

D. 95

Lời giải chi tiết

Vì chỉ có 4 đại biểu nữ nên ta có 2 trường hợp.

- Trường hợp 1: Ủy ban gồm 3 nữ và 3 nam.

Số cách chọn ra 3 người từ 4 đại biểu nữ là: \(C_4^3 = 4\) cách.

Số cách chọn ra 3 người từ 6 đại biểu nam là: \(C_6^3 = 20\) cách.

- Trường hợp 2: Ủy ban gồm 4 nữ và 2 nam.

Số cách chọn ra 4 người từ 4 đại biểu nữ là: 1 cách.

Số cách chọn ra 2 người từ 6 đại biểu nam là: \(C_6^2 = 15\) cách.

Vậy có số cách thành lập ủy ban là:

4. 20 + 1. 15 = 95 cách.

Chọn D.

Giải bài 8.25 trang 59 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Có 3 cặp vợ chồng mua 6 vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau trên cùng một hàng ghế. Số cách xếp chỗ ngồi sao cho mỗi cặp vợ chồng đều ngồi cạnh nhau là

A. 24

B. 36

C. 48

D. 120

Lời giải chi tiết

Xét 1 cặp vợ chồng là 1 nhóm. Số cách xếp 3 nhóm vào 3 vị trí là:

3! = 6 cách.

Với mỗi cách xếp như trên mỗi cặp vợ chồng có thể đổi chỗ cho nhau để tạo ra cách xếp mới.

Tổng số cách xếp chỗ theo yêu cầu đề bài là:

6. 2. 2. 2 = 48 cách.

Chọn C.

Giải bài 8.26 trang 59 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tổng các hệ số của các đơn thức trong khai triển của \({(1 + x)^4}\) bằng

A. 32

B. 8

C. 4

D. 16.

Lời giải chi tiết

Ta có: \({(1 + x)^4} \)

\(= {1^4} + {4.1^3}.x + {6.1^2}.{x^2} + 4.1.{x^3} + {x^4}\)

\(= 1 + 4x + 6{x^2} + 4{x^3} + {x^4}\).

Tổng các hệ số trong khai triển là: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.

Chọn D.

Giải bài 8.27 trang 59 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giá trị của biểu thức \({\left( {\sqrt 5  + 1} \right)^5} - {\left( {\sqrt 5  - 1} \right)^5}\) bằng

 A. 252

 B. 352

 C. 452

 D. 425

Lời giải chi tiết

 Ta có: \({\left( {\sqrt 5  + 1} \right)^5} - {\left( {\sqrt 5  - 1} \right)^5}\)

\( = \left[ {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5.\sqrt 5  + {1^5}} \right]\)

\( - \left[ {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4}.( - 1) + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3}{{( - 1)}^2}} \right.\)

\( + 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^2}{( - 1)^3}\left. { + 5.\sqrt 5 .{{( - 1)}^4} + {{( - 1)}^5}} \right]\)

\( = \left[ {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5.\sqrt 5  + {1^5}} \right]\)

\( - \left[ {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} - 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} - 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5.\sqrt 5  - {1^5}} \right]\)

\( = {\left( {\sqrt 5 } \right)^5} + 5{\left( {\sqrt 5 } \right)^4} + 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^3} + 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 5.\sqrt 5  + {1^5}\)

\( - {\left( {\sqrt 5 } \right)^5} + 5{\left( {\sqrt 5 } \right)^4} - 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^3} + 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 5.\sqrt 5  + {1^5}\)

\( = 10{\left( {\sqrt 5 } \right)^4} + 20{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2\)

\( = 10.25 + 20.5 + 2 = 352\).

Chọn B.

Giải bài 8.28 trang 59 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng ngang sao cho đứng ngoài cùng bên trái và đứng ngoài cùng bên phải là các bạn nam?

Lời giải chi tiết

Có tất cả 5 + 3 = 8 bạn học sinh.

- Chọn ra 2 bạn nam đứng ngoài cùng bên trái và đứng ngoài cùng bên phải có số cách là: \(A_5^2 = 20\) cách.

- Xếp 6 bạn còn lại vào các vị trí giữa 2 bạn nam có 6! = 720 cách.

Theo quy tắc nhân, tổng số cách sắp xếp là:

20 . 720 = 14 400 cách.

Giải bài 8.29 trang 59 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một phòng thi có 4 hàng bàn ghế, mỗi hàng có 5 bộ bàn ghế. Có 10 thí sinh nam và 10 thí sinh nữ được xếp vào phòng thi đó. Người ta muốn xếp các thí sinh, mỗi thí sinh ngồi một bàn, sao cho mỗi hàng chỉ xếp các thí sinh cùng giới tính và thí sinh ở hai hàng liên tiếp thì khác giới tính với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho các thí sinh?

Lời giải chi tiết

Đánh số các hàng từ trên xuống dưới lần lượt là 1, 2, 3, 4 ta có 2 phương án:

- Phương án 1: Xếp các thí sinh nam vào hàng 1 và 3, còn các thí sinh nữ vào hàng 2, 4.

Xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ ở hàng 1 và 3 có số cách là:

10! = 3 628 800 cách.

Xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ ở hàng 2 và 4 có số cách là:

10! = 3 628 800 cách.

Có tổng số cách sắp xếp theo phương án 1 là:

10! . 10! cách.

- Phương án 2: Xếp các thí sinh nam vào hàng 2 và 4, còn các thí sinh nữ vào hàng 1, 3.

Tương tự phương án 1, phương án 2 có 10! . 10! cách.

Theo quy tắc cộng, số cách sắp xếp theo yêu cầu là:

10! . 10! + 10! . 10! = 26 336 378 880 000 cách.

Giải bài 8.30 trang 59 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Ông giám đốc vườn thú mua 10 con vật để nhốt vào 10 cái chuồng mới xây. Thế nhưng có 3 cái chuồng lại không vừa so với 5 con vật lớn nhất. Hỏi vị giám đốc có bao nhiêu cách nhốt 10 con vật, mỗi con trong một chuồng?

Lời giải chi tiết

- Ta cần nhốt 5 con vật lớn nhất vào 5 trong 7 cái chuồng phù hợp có số cách là: \(A_7^5 = 2520\).

- Số cách nhốt 5 con vật còn lại vào 5 chuồng còn lại là: 5! = 120 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách nhốt theo yêu cầu là: 2 520 . 120 = 302 400 cách.

Giải bài 8.31 trang 59 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một nhóm người gồm 3 bạn nam và 3 bạn nữ mua 6 chiếc vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau.

a) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau?

b) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau?

Lời giải chi tiết

a) Ta đánh số các chiếc ghế từ trái qua phải 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Để xếp các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau ta có:

- Phương án 1: các bạn nữ ngồi ghế 1, 3, 5 và các bạn nam ngồi ghế 2, 4, 6.

- Phương án 2: các bạn nữ ngồi ghế  2, 4, 6 và các bạn nam ngồi ghế 1, 3, 5.

Số cách xếp 3 bạn nữ vào 3 chỗ ngồi là 3! = 6 cách.

Số cách xếp 3 bạn nam vào 3 chỗ ngồi còn lại là 3! = 6 cách.

Số cách sắp xếp chỗ ngồi của mỗi phương án là: 6 . 6= 36 cách.

Vậy có tổng cách xếp chỗ ngồi theo yêu cầu là: 36 + 36 = 72 cách.

a) Để xếp chỗ cho các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau ta có:

- Phương án 1: các bạn nữ ngồi ghế 1, 2, 3.

- Phương án 2: các bạn nữ ngồi ghế 2, 3, 4.

- Phương án 3: các bạn nữ ngồi ghế 3, 4, 5.

- Phương án 4: các bạn nữ ngồi ghế 4, 5, 6.

Tương tự như câu a số cách xếp chỗ ngồi cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ và số cách xếp chỗ ngồi cho 3 bạn nam đều bằng 6.

Do đó số cách sắp xếp chỗ ngồi của mỗi phương án là: 6. 6 = 36 cách.

Vậy có tổng số cách sắp xếp chỗ theo yêu cầu là: 36 + 36 + 36 + 36 = 144 cách.

Giải bài 8.32 trang 59 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong phần ca nhạc tại một cuộc gặp mặt của một nhóm bạn, hai người bất kì hát song ca đúng một lần với nhau trong 2 phút. Thời gian hát song ca kể từ lúc bắt đầu đến lúc kết thúc (coi các cặp hát nối tiếp nhau liên tục) là 30 phút. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người?

Lời giải chi tiết

Gọi số người của nhóm bạn là n  \((n \in \mathbb{N}^*)\).

 Số các cặp song ca là số cách chọn ra 2 người từ n người:

\(C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{n.(n - 1)}}{2}\).

Mỗi cặp song ca mất 2 phút nên tổng thời gian hát là:

\(2.\frac{{n.(n - 1)}}{2} = n.(n - 1) = 30\) (phút).

\(\Leftrightarrow {n^2} - n - 30 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\\n =  - 5\;(L)\end{array} \right.\\ \Rightarrow n = 6\)

Vậy nhóm bạn có 6 người.

Giải bài 8.33 trang 60 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong hình sau đây, mỗi cạnh của tam giác đều được chia thành 6 đoạn thẳng bằng nhau bởi 5 điểm nằm bên trong cùng với hai đầu mút. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các chấm điểm ở trong hình?

Lời giải chi tiết

Tổng số chấm điểm trong hình là 18.

Mỗi tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng. Ta tính số cách chọn ra 3 điểm không thẳng hàng bằng số cách lấy số cách chọn ra 3 điểm trừ đi cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng.

Số cách chọn ra 3 điểm từ 18 điểm là:

\(C_{18}^3 = 816\) cách.

Chọn ra 3 điểm thẳng hàng bằng cách chọn ra 3 điểm trên cùng 1 cạnh.

Mỗi cạnh có 7 điểm do đó có số cách chọn ra 3 điểm từ 1 cạnh là \(C_7^3 = 35\) cách.

Số cách chọn ra 3 điểm thẳng hàng là 35 + 35 + 35 = 105 cách.

Vậy số tam giác cần tìm là: 816 - 105 = 711.

Giải bài 8.34 trang 60 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hình sau đây được tạo thành từ hai họ đường thẳng vuông góc, mỗi họ gồm 6 đường thẳng song song.

Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật khác nhau được tạo thành?

Lời giải chi tiết

Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ giao điểm của 2 đường thẳng của họ các đường đường thẳng nằm ngang và 2 đường thẳng của họ các đường thẳng nằm dọc.

Số cách chọn ra 2 đường thẳng từ 6 đường thẳng nằm ngang là: \(C_6^2 = 15\) cách.

Số cách chọn ra 2 đường thẳng từ 6 đường thẳng nằm dọc là: \(C_6^2 = 15\) cách.

Theo quy tắc nhân, số hình chữ nhật được tạo thành là: 15. 15 = 225 cách.

Giải bài 8.35 trang 60 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

a) Có bao nhiêu dãy ký tự gồm 4 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ "NGHI"?

b) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 6 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ "NGHIÊN"?

c) Có bao nhiêu dãy ký tự gồm 7 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ "NGHIÊNG"?

Lời giải chi tiết

a) Từ “NGHI” có 4 chữ cái khác nhau.

Số cách sắp xếp theo yêu cầu là: 4! = 24 cách.

b) Từ “NGHIÊN” có 6 chữ cái trong đó có 2 chữ cái N giống nhau.

Chọn  2 vị trí trong 6 vị trí để xếp 2 chữ N vào có \(C_6^2 = 15\) cách.

Xếp 4 chữ cái còn lại vào vị trí còn lại có 4! = 24 cách.

Số dãy kí tự tạo thành theo yêu cầu là 15. 24 = 360 cách.

c) Tương tự như câu b) từ “NGHIÊNG” có 7 chữ cái trong đó có các chữ cái giống nhau là N và G.

Để xếp 7 chữ cái thành 1 dãy kí tự  ta thực hiện lần lượt:

- Chọn 2 vị trí trí trong 7 vị trí để xếp 2 chữ N vào có \(C_7^2 = 21\) cách.

- Chọn 2 vị trí trí trong 5 vị trí để xếp 2 chữ G vào có \(C_5^2 = 10\) cách.

- Xếp 3 chữ cái còn lại vào 3 vị trí còn lại có 3! = 6 cách.

Số dãy kí tự được tạo thành theo yêu cầu là: 21. 10. 6 = 1 260 cách.

Giải bài 8.36 trang 60 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính \({\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)^5}\).

Lời giải chi tiết

Giải bài 8.37 trang 60 SBT toán 10 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử hệ số của x trong khai triển của\({\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5}\) bằng 640. Xác định giá trị của r.

Lời giải chi tiết

Ta có: \({\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5}\)

\(= {\left( {{x^2}} \right)^5} + 5{\left( {{x^2}} \right)^4}\frac{r}{x} + 10{\left( {{x^2}} \right)^3}{\left( {\frac{r}{x}} \right)^2}\)

\( + 10{\left( {{x^2}} \right)^2}{\left( {\frac{r}{x}} \right)^3} + 5\left( {{x^2}} \right){\left( {\frac{r}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}\)

 \( = {x^{10}} + 5{x^8}\frac{r}{x} + 10{x^6}{\left( {\frac{r}{x}} \right)^2} + 10{x^4}{\left( {\frac{r}{x}} \right)^3}\)

\( + 5\left( {{x^2}} \right){\left( {\frac{r}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}\)

\( = {x^{10}} + 5{x^7}.r + 10{x^4}.{r^2} + 10x.{r^3}\)

\( + 5.\frac{{{r^2}}}{{{x^2}}} + {\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}\).

Hệ số của x bằng 640 nên:

\(10{r^3} = 640 \Leftrightarrow {r^3} = 64 \Leftrightarrow r = 4\).