Bài tập cuối chương VIII Toán 11 Cùng khám phá

Bài 8.37 trang 89 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Chứng minh B'D' song song với BD và AB’vuông góc với SB.

Lời giải chi tiết

a) SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AD, AB, BC, AD

Suy ra tam giác SAD vuông tại A, tam giác SAB vuông tại A

Ta có: SA, AB vuông góc với BC nên (SAB) vuông góc với BC

Suy ra SB vuông góc với BC nên tam giác SBC vuông tại B

Có: SA, AD vuông góc với CD nên (SAD) vuông góc với CD

Suy ra SD vuông góc với CD nên tam giác SCD vuông tại D.

b) Vì B’, D’ thuộc \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với SC nên B’D’ vuông góc với SC (1)

Ta có: SA, AC vuông góc với BD nên (SAC) vuông góc với BD

Suy ra SC vuông góc với BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD // B’D’

Ta có: (SAB) vuông góc với BC (cmt)

Mà: AB’ thuộc (SAB) nên AB’ vuông góc với BC.

Bài 8.38 trang 89 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 60⁰. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = \frac{{3a}}{4}\). Gọi E là trung điểm của đoạn BC và F là trung điểm của đoạn BE.

a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải chi tiết

a) SO vuông góc với (ABCD) nên SO vuông góc với BC (1)

Ta có: ABCD là hình thoi, góc BAD = 60⁰ nên tam giác ABD đều. Suy ra BD = a

Nên BO =\(\frac{1}{2}a\)

Mà: BE = \(\frac{1}{2}a\), góc CBD = 60⁰

Suy ra tam giác BOE đều

Mà F là trung điểm của BE. Nên OF vuông góc với BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC vuông góc với (SOF)

Vậy (SBC) vuông góc với (SOF).

b) Ta có: (SBC) vuông góc với (SOF)

SF là giao tuyến của (SOF) và (SBC)

Kẻ OJ vuông góc với SF

Suy ra OJ là khoảng cách từ O đến (SBC)

F là trung điểm BE nên BF = \(\frac{1}{4}a\)

\(OF = \sqrt {O{B^2} - B{F^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{1}{4}a} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{O{J^2}}} = \frac{1}{{O{F^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow JO = \frac{3}{8}a\end{array}\)

(SAB) và (SBC) vuông góc

Kẻ AK vuông góc với SB nên AK là khoảng cách từ A đến (SBC)

Bài 8.39 trang 89 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC’.

Lời giải chi tiết

a) BC vuông góc với CD (ABCD là hình vuông)

BC vuông với (ADD’A’) nên BC vuông góc với A’D

Suy ra BC vuông góc với (A’B’CD)

b) Gọi giao điểm của B’C và BC’ là F, A’D và AD’ là E

Kẻ FH vuông góc với BC’ nên FH vuông góc với AD’

Kẻ HK // BC’, KI // HF

Vậy KI là đường vuông góc chung của AB’ và BC’.

Bài 8.40 trang 89 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60⁰. Hình chiếu của A trên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh B’C’.

a ) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình lăng trụ này.

b) Tính số đo của góc nhị diện tạo bởi mặt bên (ABB’A’) và mặt đáy (A’B’C’).

Lời giải chi tiết

a) Góc giữa AA’ và (A’B’C’) là góc AA’H. Suy ra \(\widehat {AA'H} = {60^0}\)

Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên A’H = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

\(AH = A'H.\tan {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a.\sqrt 3  = \frac{3}{2}a\)

b) Gọi D là trung điểm A’B’

Góc giữa (ABB’A’) và (A’B’C’) là góc ADC’.

Bài 8.41 trang 89 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp cụt đều (Hình 8.87) có hai đáy là các hình vuông cạnh 2a và a. Chiều cao của mặt bên bằng a. Tính:

a) Thể tích của khối chóp cụt đều này;

b) Số đo của các góc nhị diện tạo bởi mặt bên và các mặt đáy của hình chóp cụt đều này.

Lời giải chi tiết

a) \(V = \frac{1}{3}h\left( {S + S' + \sqrt {SS'} } \right) = \frac{1}{3}.a.\left( {{a^2} + 4{a^2}} \right) = \frac{5}{3}{a^3}\)

b) OK vuông góc với BC, C’K vuông góc với BC nên góc phẳng nhị diện cần tìm là góc OKC’

Bài 8.42 trang 89 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

C. Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) thì giao tuyến d của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) nếu có sẽ vuông góc với \(\left( \gamma  \right)\).

D. Hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc \(\left( \alpha  \right)\) và mỗi điểm B thuộc \(\left( \beta  \right)\), ta có đường thẳng AB vuông góc với d.

Lời giải chi tiết

A. 2 mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau.

C. Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) thì giao tuyến d của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) nếu có sẽ vuông góc với \(\left( \gamma  \right)\).

Chọn đáp án B.

Bài 8.43 trang 89 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và đường thẳng a cùng vuông góc với đường thẳng b thì song song với nhau.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

Lời giải chi tiết

A. Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) (không chứa a) và đường thẳng a cùng vuông góc với đường thẳng b thì song song với nhau.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc chéo nhau.

Chọn đáp án D.

Bài 8.44 trang 90 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. AB \( \bot \) CD.

B. AC \( \bot \) BD.

C. AD \( \bot \) BC.

D. AB \( \bot \) AD.

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC cân tại A nên AE là đường cao đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow \) E là trung điểm BD \( \Rightarrow \)CE là đường trung tuyến của tam giác BCD.

Mà tam giác BDC cân tại D nên CE là đường cao hay \(CE \bot BD\).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DE \bot BC\\AE \cap DE = E\\AE,DE \subset (ADE)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (ADE)\)

Do đó,

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot (ACE)\\AD \subset (ADE)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AD\)

Chọn đáp án C.

Bài 8.45 trang 90 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tử diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC. Gọi M là trung điểm của BC. Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng

A. 90⁰.

B. 30⁰.

C. 60⁰.

D. 45⁰.

Lời giải chi tiết

Đặt OA = OB = OC = a

Gọi D là trung điểm của AC nên DM // AB và bằng một nửa AB

\( \Rightarrow \widehat {\left( {OM,AB} \right)} = \widehat {\left( {OM,DM} \right)} = \widehat {OMD}\)

Ta có: OA vuông góc và bằng OC nên tam giác OAC là tam giác vuông cân tại C

\(AC = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt 2 a\)

\(\begin{array}{l}AC.OD = OA.OC\\ \Leftrightarrow OD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\end{array}\)

Tương tự với OM, ta có: \(OM = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)

\(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt 2 a\)

Suy ra \(DM = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)

Vậy tam giác DOM đều. Suy ra \(\widehat {OMD} = {60^0}\).

Chọn đáp án C.

Bài 8.46 trang 90 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a, BC = \(\sqrt 2 \)a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng

A. 60⁰.

B. 90⁰.

C. 30⁰.

D. 45⁰.

Lời giải chi tiết

Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là \(\widehat {SBA}\)

\(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}}  = \sqrt 3 a\)

\(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {SBA} = {30^0}\)

Chọn đáp án C.

Bài 8.47 trang 90 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau và SA = SB = SC = a. Khi đó khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng

A. \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

B. \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

C. \(\frac{a}{2}\)

D. \(\frac{a}{3}\)

Lời giải chi tiết

Hạ AH \( \bot \) BC, SI \( \bot \) AH

Ta có: SH \( \bot \) BC, AH \( \bot \) BC suy ra BC \( \bot \) (SAH). Do đó, BC \( \bot \) SI.

Ta có: SI \( \bot \) BC, SI \( \bot \) AH suy ra SI \( \bot \) (ABC)

Suy ra, d(S,(ABC)) = SI

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {S{B^2} + S{C^2}}  = \sqrt 2 a\\SH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\\\frac{1}{{S{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow SI = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)

Chọn đáp án B.

Bài 8.48 trang 90 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD, SC bằng

A. \(\frac{{\sqrt {30} }}{6}a\)

B. \(\frac{{4\sqrt {21} }}{{21}}a\)

C. \(\frac{{2\sqrt {21} }}{{21}}a\)

D. \(\frac{{\sqrt {30} }}{{12}}a\)

Lời giải chi tiết

Gọi O là trung điểm BD, M là trung điểm SA

SC // (BMD)

Nên \(d\left( {SC,BD} \right) = d\left( {SC,\left( {BMD} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {BMD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BMD} \right)} \right) = h\)

\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{\frac{1}{4}{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}}\)

\( \Rightarrow h = \frac{{2\sqrt {21} a}}{{21}}\)

Chọn đáp án C.

Bài 8.49 trang 90 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = \(\sqrt 3 \)a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc phẳng nhị diện [S, BC, A] có số đo bằng 60⁰. Thể tích của khối chóp S.ABCD là

A. V = 3a³.

B. V = \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)a³.

C. V = a³.

D. V = \(\frac{{{a^3}}}{3}\).

Lời giải chi tiết

BC vuông góc với (SAB)

Nên \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SBA} = {60^0}\)

\(SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

\(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.AD.AB.SA = a\sqrt 3 .a.a\sqrt 3  = 3{a^3}\)

Bài 8.50 trang 90 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một nhà kho có dạng hình lăng trụ đứng ngũ giác có các kích thước được cho trong Hình 8.88 (đơn vị đo là mét). Thể tích nhà kho này (theo m³) là

A. 1 280.

B. 1040.

C. 960.

D. 880.

Lời giải chi tiết

\(V = S.h = \left( {\frac{1}{2}.8.\sqrt {{5^2} - {4^2}}  + {5^2}} \right).20 = 740\) (m³)

Bài 8.51 trang 90 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho một chậu nước hình chóp cụt đều có chiều cao bằng 3 dm, đáy là lục giác đều, độ dài cạnh dáy lớn bằng 2 dm và độ dài cạnh đáy nhỏ bằng 1 dm. Thể tích của chậu nước là

A. \(V = \frac{{21\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(V = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(V = \frac{{7\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(V = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Lời giải chi tiết

\(V = \frac{1}{3}h\left( {S + S' + \sqrt {SS'} } \right) = \frac{1}{3}.3.\left( {\frac{{3\sqrt 3 {{.2}^2}}}{2} + \frac{{3\sqrt 3 {{.1}^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{3\sqrt 3 {{.2}^2}}}{2}.\frac{{3\sqrt 3 {{.1}^2}}}{2}} } \right) = \frac{{21\sqrt 3 }}{2}\)(dm³)