Bài tập cuối chuyên đề 1

Giải bài 1.13 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một chiếc hộp đựng ba tấm thẻ cùng loại ghi số 0, ghi số 1 và ghi số 2. Bạn An rút thẻ ba lần một cách độc lập, mỗi lần rút một tấm thẻ từ trong túi, ghi lại số trên tấm thẻ rồi trả lại thẻ vào hộp. Gọi X là tổng ba số An nhận được sau ba lần rút thẻ. Lập bảng phân bố xác suất của X.

Lời giải chi tiết

Các giá trị có thể có của X thuộc tập {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Số kết quả có thể có là: kết quả

Biến cố là: “Tổng của ba số sau 3 lần lấy là ”

Ta có bảng phân bố xác suất của X

Giải bài 1.14 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Có ba chiếc túi I, II và III. Túi I có chứa 5 viên bị trắng và 5 viên bị đen cùng kích thước, khối lượng. Túi II và III mỗi túi có chứa 2 viên bị trắng và 8 viên bị đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi. Gọi X là số viên bị trắng lấy được.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Chứng minh rằng X không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.

Lời giải chi tiết

a) X là số viên bị trắng lấy được. Các giá trị có thể có của X là {0, 1, 2, 3}

Xác suất để lấy được 1 bi trắng ở các túi I, II, III lần lượt là 0,5; 0,2; 0,2.

- Biến cố {X = 0} là biến cố không có bi trắng lấy được từ một trong ba túi

- Biến cố {X = 1} là biến cố có bi trắng lấy được từ một trong ba túi

- Biến cố {X = 2} là biến cố có bi trắng lấy được từ hai trong ba túi

- Biến cố {X = 3} là biến cố có bi trắng lấy được từ cả ba túi

Ta có bảng phân bố xác suất:

b) Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức. Khi đó,

Vậy X không là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.

Giải bài 1.15 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một cuộc thi gồm hai loại câu hỏi. Câu hỏi loại 1 và câu hỏi loại 2. Ở vòng 1 thí sinh bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại . Nếu trả lời sai thì thí sinh dừng cuộc thi tại đây. Nếu trả lời đúng, thí sinh sẽ đi tiếp vào vòng 2, tiếp tục bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại Sau khi thí sinh trả lời câu hỏi này, cuộc thi kết thúc. Thí sinh sẽ nhận được điểm nếu trả lời đúng câu hỏi loại . Giả thiết rằng việc trả lời đúng câu hỏi vòng 1 sẽ không ảnh hưởng đến xác suất trả lời đúng hay sai câu hỏi ở vòng 2. Bạn An tham gia cuộc thi. Gọi   là biển cố: "An trả lời đúng câu hỏi loại ”(). Giả sử .

a) Với điều kiện nào thì ở vòng 1, An nên bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 1?

b) Giả sử . Khi đó ở vòng 1, An nên bắc ngẫu nhiên câu hỏi loại nào?

Lời giải chi tiết

Trường hợp 1: Nếu ở vòng 1 An bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 1.

+ Nếu trả lời sai thì An được 0 điểm. Cuộc thi kết thúc tại đây.

Vậy

+ Nếu trả lời đúng thì An nhận điểm và An được đi tiếp vòng 2: Bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại 2.

là biến cố: “Trả lời đúng câu hỏi loại ”,  .

Nếu trả lời sai câu hỏi loại 2 thì An nhận 0 điểm. Cuộc thi kết thúc và An nhận được điểm.

Theo giả thiết là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác suất ta có:

Nếu trả lời đúng câu hỏi loại 2 thì An nhận điểm. Cuộc thi kết thúc và An nhận được điểm.

Theo giả thiết là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác suất ta có:

Ta có bảng phân bố xác suất của là:

Trường hợp 2: Nếu ở vòng 1 An bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 2.

Tương tự trường hợp 1, ta có bảng phân bố xác suất của là:

a) Ở vòng 1 An nên chọn câu hỏi loại 1 trước nếu:

b) Ta có: 

Ta thấy nên ở vòng 1 An nên chọn câu hỏi loại 2 trước.

Giải bài 1.16 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hai kì thủ Hoà và Trường thì một trận đấu cờ. Biết rằng thể lệ ở mỗi ván đấu trong trận này không có kết quả hoà. Xác suất thắng của Trưởng trong một văn là 0,4. Trận đấu gồm 7 ván. Người nào thắng một số ván lớn hơn là người thắng cuộc. Tính xác suất để Trường là người thắng cuộc.

Lời giải chi tiết

Gọi là số ván thắng của Trường. Khi đó, .

Biến cố: “Trường thắng cuộc” là biến cố .

Khi đó, theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

Giải bài 1.17 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một hệ thống tin có n thành phần hoạt động độc lập với nhau. Xác suất hoạt động của mỗi thành phần là p. Hệ hoạt động nếu có ít nhất một nửa các thành phần hoạt động. Với giá trị nào của p thì hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần?

Lời giải chi tiết

+ Với hệ 5 thành phần:

Gọi X là số thành phần hoạt động. Khi đó,

Hệ hoạt động nếu . Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

+ Với hệ 3 thành phần:

Gọi Y là số thành phần hoạt động. Khi đó,

Hệ hoạt động nếu . Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

Để hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần thì:

Mà nên .

Giải bài 1.18 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một cửa hàng cho thuê xe ô tô tự lái. Chi phí cửa hàng phải tiêu tốn cho một chiếc xe là a triệu đồng/ngày. Mỗi chiếc xe được cho thuê thì cửa hàng thu về được 1 triệu đồng/ngày. Biết rằng nhu cầu cho thuê trong một ngày là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

a) Giả sử cửa hàng có 3 chiếc ô tô cho thuê. Gọi Y là số tiền cửa hàng thu được trong 1 ngày. Lập bảng phân bố xác suất của Y. Hỏi trung bình một ngày của hàng thu được bao nhiêu tiền từ việc cho thuê xe?

b) Giả sử cửa hàng có 4 chiếc ô tô cho thuê. Gọi Z là số tiền cửa hàng thu được trong 1 ngày. Lập bảng phân bố xác suất của Z. Hỏi trung bình một ngày cửa hàng thu được bao nhiêu tiền từ việc cho thuê xe?

c) Với giá trị nào của a thì cửa hàng chỉ nên duy trì 3 xe ô tô cho thuê?

Lời giải chi tiết

a) Mỗi ngày cửa hàng phải bỏ ra chi phí là triệu đồng. Giả sử mỗi người đến thuê một chiếc xe:

Cửa hàng có từ 3 hoặc 4 người đến thuê với xác suất là: 0,2225 + 0,308 = 0,5305.

Mà cửa hàng chỉ có 3 chiếc xe cho thuê nên số tiền cửa hàng thu được là triệu đồng.

Bảng phân bố xác suất của Y là:

Số tiền trung bình cửa hàng thu được là:

(triệu đồng).

b) Mỗi ngày cửa hàng phải bỏ ra chi phí là triệu đồng. Giả sử mỗi người đến thuê một chiếc xe:

Bảng phân bố xác suất của Z là:

Số tiền trung bình cửa hàng thu được là:

(triệu đồng)

c) Cửa hàng chỉ nên duy trì 3 xe cho thuê nếu .

(triệu đồng).