Bài tập cuối chuyên đề 2

Giải bài 2.11 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một cửa hàng chuyên về cà phê, có sẵn 75 kg cà phê Colombia nguyên chất và 120 kg cà phê thương hiệu của cửa hàng. Những thứ này sẽ được pha thành các gói cà phê 1 kg như sau: Một gói tiêu chuẩn có chứa 250g cà phê Colombia nguyên chất và 750g cà phê thương hiệu, một gói cao cấp chứa 500g cà phê Colombia nguyên chất và 500g cà phê thương hiệu.

a) Gọi x là số gói cà phê tiêu chuẩn và y là số gói cà phê cao cấp, hãy viết hệ bất phương trình bậc nhất mô tả số lượng gói có thể có của mỗi loại.

b) Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất nhận được ở cầu a và tìm các đỉnh của miền nghiệm.

c) Lợi nhuận của mỗi gói cà phê tiêu chuẩn là 30 nghìn đồng và của mỗi gói cà phê cao cấp là 40 nghìn đồng. Hỏi cần chuẩn bị bao nhiêu gói cà phê mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Giả sử rằng tất cả các gói cà phê đã chuẩn bị đều có thể bán được.

Lời giải chi tiết

a)Theo bài ra, ta có hệ bất phương trình sau:

b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác OABC được tô màu như hình vẽ dưới đây:

Điểm cực biên:

c) Lợi nhuận thu được là (nghìn đồng)

Ta có:

Vậy lợi nhuận thu được lớn nhất là 6 900 nghìn đồng (6 triệu 900 nghìn đồng) khi x=90 và y=105 tức là cần chuẩn bị 90 gói cà phê tiêu chuẩn và 105 gói cà phê cao cấp.

Giải bài 2.12 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi sản phẩm yêu cầu sử dụng ba máy. Máy đầu tiên có thể được sử dụng nhiều nhất là 70 giờ, máy thứ hai nhiều nhất là 40 giờ và máy thứ ba nhiều nhất là 90 giờ. Sản phẩm thứ nhất cần 2 giờ trên máy 1, 1 giờ trên máy II và 1 giờ trên máy III; sản phẩm thứ hai cần 1 giờ cho mỗi máy I, II và 3 giờ trên máy III. Nếu lợi nhuận là 400 nghìn đồng/đơn vị cho sản phẩm thứ nhất và 600 nghìn đồng/đơn vị cho sản phẩm thứ hai, thì cần sản xuất bao nhiều đơn vị mỗi sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm thứ nhất và sản phẩm thứ hai cần sản xuất.

Lợi nhuận thu được là: 400x + 600y (nghìn đồng).

Ta có hệ bất phương trình sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền ngũ giác OABCD được tô màu như hình vẽ dưới đây:

Các điểm cực biên là: O(0; 0), A(0; 30), B(15; 25), C(30; 10), D(35; 0).

Ta có:

Vậy lợi nhuận thu được lớn nhất là 21 000 nghìn đồng khi x = 15 và y = 25, tức là cần sản xuất 15 sản phẩm thứ nhất và 25 sản phẩm thứ hai.

Giải bài 2.13 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một công ty bản hàng toàn quốc đang lên kế hoạch tổ chức cuộc họp bán hàng tại Đà Nẵng. Giá vé máy bay khứ hồi thấp nhất từ Hà Nội đến Đà Nẵng là 2 triệu đồng và giá vé khứ hồi thấp nhất từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng là 2,4 triệu đồng. Có 28 đại diện bán hàng ở Hà Nội và 22 đại diện bán hàng ở Thành phố Hồ Chí Minh có thể đến Đà Nẵng dự cuộc họp này. Tổng cộng ít nhất 40 đại diện bản hàng từ Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh phải tham dự cuộc họp này với ít nhất 12 người từ Hà Nội và 16 người từ Thành phố Hồ Chí Minh. Cần cử bao nhiều đại diện bán hàng ở Hà Nội và bao nhiêu đại diện bán hàng ở Thành phố Hồ Chí Minh đến dự cuộc họp bán hàng ở Đà Nẵng để tổng chi phí về máy bay là nhỏ nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi x và y lần lượt là số đại diện bán hàng ở Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh được cử đến dự cuộc họp bán hàng ở Đà Nẵng.

Tổng chi phí vé máy bay là: $F(x,y)=2x+2,4y$ (triệu đồng).

Ta có hệ bất phương trình sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền tứ giác ABCD được tô màu dưới đây:

Các điểm cực biên là: A(18; 22), B(28; 22), C(28; 16), D(24; 16).

Ta có:

Vậy tổng chi phí vé máy bay nhỏ nhất là 86,4 triệu đồng khi x=24 và y=16 tức là cần cử 24 đại diện bán hàng ở Hà Nội và 16 đại diện bán hàng ở Thành phố Hồ Chí Minh đến dự cuộc họp.

Giải bài 2.14 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một vật nặng có khối lượng m được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc 0. Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo F cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức

trong đó g là gia tốc trọng trưởng và c là hệ số ma sát của bề mặt (Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014). Chứng tỏ rằng lực kéo F nhỏ nhất khi

Lời giải chi tiết

Xét .

Giả sử thỏa mãn .

Ta thấy: Khi thì , khi thì .

Do đó lực kéo F nhỏ nhất tại tức là khi .

Giải bài 2.15 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát là 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi (tức là, có góc nhìn $\theta$ lớn nhất)?

Lời giải chi tiết

Đặt AC = x (m) ta có $CD=\sqrt{x^2+9}$, $BC=\sqrt{x^2+49}$

Ta có: $\sin B=\frac{x}{\sqrt{x^2+49}}$

Xét tam giác BDC có:

$\frac{CD}{\sin B}=\frac{BD}{\sin \theta }\iff \frac{\sqrt{x^2+9}}{\frac{x}{\sqrt{x^2+49}}}=\frac{4}{\sin \theta }\iff \sin \theta =\frac{4x}{\sqrt{x^2+49}.\sqrt{x^2+9}}$

Để có được tầm nhìn thuận lợi thì góc nhìn $\theta$ lớn nhất.

Xét hàm số $y=\frac{4x}{\sqrt{x^2+49}.\sqrt{x^2+9}}=\frac{4x}{\sqrt{x^4+58x^2+441}},x>0$

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-4x^4+1764}{\left(x^4+58x^2+441\right)\sqrt{x^4+58x^2+441}}=0\iff x=\sqrt{21}\approx 4,58$

Vậy người đó phải đứng cách tường khoảng 4,58m thì tầm nhìn là thuận lợi nhất.

Giải bài 2.16 trang 45 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một khu vực hình tròn có bán kính 20 m được bao quanh bởi một lối đi bộ (như hình vẽ). Một bóng đèn được lắp ở trên đỉnh cột nằm ở trung tâm của khu vực. Hỏi độ cao của cột đèn là bao nhiêu thì sẽ chiếu sáng mạnh nhất cho lối đi bộ? Biết rằng cường độ chiếu sáng cho bởi công thức , trong đó s là khoảng cách từ nguồn sáng và  là góc mà ánh sáng chiếu vào bề mặt.

Lời giải chi tiết

Gọi h là chiều cao của đèn (h>0,mét)

Ta có:

Xét hàm số

Ta có:

(do ).

Ta có bảng biến thiên:

 

Vậy khi chiều cao của cột đèn là 20m thì sẽ chiếu sáng mạnh nhất cho lối đi bộ.