Bài tập ôn tập cuối năm

Giải bài 1 trang 121 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Thực hiện phép tính:

Lời giải chi tiết

a) Cách 1.

Cách 2. Đặt A = 2x + y và B = 5x – y, ta có:

.

Mặt khác, A + B = 7x. Do đó .

Vậy .

b) Biểu thức đã cho có dạng M – N, trong đó:

và

Ta có: M = 4x² – y⁶

N = 8x³ – y⁶

Do đó M – N = -8x³ + 4x².

Giải bài 2 trang 121 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho đa thức:

a) Phân tích đa thức P thành nhân tử

b) Sử dụng kết quả của câu a để tìm thương của phép chia đa thức P cho x + y + 3

Lời giải chi tiết

a)

b) Kết quả của câu a là ta có đẳng thức . Điều này chứng tỏ P : (x + y + 3) = x + 3 – y.

Giải bài 3 trang 121 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho đa thức:

a) Phân tích đa thức thành nhân tử.

b) Tìm x sao cho f(x) = 0

Lời giải chi tiết

a)

b) f(x) = (x – 7)(x - 8) = 0 khi x – 8 = 0 hoặc x – 7 = 0, tức là khi x = 8 hoặc x = 7 thì f(x) = 0.

Giải bài 4 trang 122 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho phân thức $P=\frac{2x^3+6x^2}{2x^3-18x}$

a) Viết điều kiện xác định và rút gọn phân thức P

b) Có thể tính giá trị của P tại x = −3 được không? Vì sao

c) Tính giá trị của phân thức P tại x = 4

d) Với các giá trị nguyên nào của x thì P nhận giá trị nguyên?

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của phân thức là: $2x^3-18x\ne 0$. (*)

Rút gọn:

 

b) Ta thấy x = -3 không thỏa mãn điều kiện (*) nên giá trị của biểu thức P tại x = -3 là không xác định.

c) Khi x = 4, điều kiện (*) được thỏa mãn nên giá trị của P tại x = 4 là xác định.

Giá trị đó là .

d) Ta có thể viết . Điều này cho thấy P nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên. Muốn vậy, x – 3 phải là ước của 3.

Mà 3 chỉ có 4 ước là . Do đó chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

• x – 3 = 1, tức là x = 4, khi đó P = 4;
• x – 3 = -1, tức là x = 2, khi đó P = -2;
• x – 3 = -3, tức là x = 0, khi đó P = 0;
• x – 3 = 3, tức là x = 6, khi đó P = 2.

Vậy các giá trị cần tìm của x là .

Giải bài 5 trang 123 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho biểu thức:

, trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện

a) Tính tổng và

b) Từ kết quả câu a) hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức:

d) Sử dụng câu c) hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

b) Từ hai kết quả trên, ta có:

Trong biểu thức (*), ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta thấy:

.

So sánh kết quả này với (*), ta suy ra P =

d) Cách 1. Từ kết quả câu c, ta có: P = 1 khi . Điều này xảy ra khi hai biến x và y xác định, tức là nếu x = 1 và x²y² – 1 0. Vậy các giá trị của x và y để P = 1 là x = 1 và y² 1 (y 1).

Cách 2. Từ (*) ta có (với điều kiện x²y² – 1 0): , hay 2x = 1 + x², tức là (x – 1)² = 0 x = 1.

Giải bài 6 trang 124 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Bảng giá cước của một hãng taxi như sau

a) Tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 35 km

b) Lập công thức tính số tiền taxi y (đồng) phải trả khi di chuyển x kilômét, với 1 < x  ≤ 30. Từ đó tính số tiền taxi phải trả khi di chuyển 30 km

c) Nếu một người phải trả số tiền taxi là 268 400 đồng, hãy tính quãng đường người đó đã di chuyển bằng taxi

Lời giải chi tiết

a) Số tiền phải trả khi di chuyển 1 km đầu là 10 000 đồng.

Số tiền phải trả khi di chuyển 29 km tiếp theo là 29.13 600 = 394 400 đồng.

Số tiền phải trả khi di chuyển 5 km cuối là 5.11 000 = 55 000 đồng.

Vậy số tiền phải trả cho 35 km là:

10 000 + 394 400 + 55 000 = 459 400 (đồng).

b) Vì nên số tiền trả cho quãng đường x kilomet gồm 2 phần: Phần thứ nhất là giá mở của 10 000 đồng, phần thứ hai là trả cho quãng đường x – 1 km tiếp theo. Công thức tính cần tìm là 10 000 + (x – 1) 13 600, hay 13 600x –  3 600, với . (*)

Áp dụng (*): Nếu người đó di chuyển 30 km thì số tiền phải trả là

13 600. 30 – 3 600 = 404 400 (đồng).

c) Do số tiền đã trả cho taxi là 268 400, ít hơn 404 400 đồng, nên quãng đường đã di chuyển không quá 30 km. Vậy để tính quãng đường này, ta có thể dùng công thức (*).

13 600x – 3 600 = 268 400, hay 13 600x = 268 400 + 3 600 = 272 200, tức là x = 272 000 : 13 600 = 20 (km). 

Giải bài 7 trang 124 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Với giá trị nào của m, đường thẳng y = mx + 1 (m ≠ 0)

a) Song song với đường thẳng y = 3x?

b) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2?

c) Đồng quy với các đường thẳng y = 5x − 2 và y = −x + 4 (tức là ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm)? Với giá trị m tìm được, hãy vẽ ba đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ để kiểm nghiệm kết quả.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng y = mx + 1 song song với đường thẳng y = 3x khi hai đường thẳng có cùng hệ số góc, tức là m = 3.

b) Đường thẳng y = mx + 1 cắt trục hoành có hoành độ bằng -2, tức là nó đi qua điểm (-2; 0). Điều đó xảy ra khi m.(-2) + 1 = 0, tức là .

c)

• Trước hết tìm giao điểm của hai đường thẳng y = 5x – 2 và y = -x + 4. Vẽ hai đường thẳng ấy trên cùng một hệ tọa độ (HS tự vẽ):

Trên hình vẽ ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm (1; 3).

• Đường thẳng y = mx + 1 đi qua điểm (1; 3) nếu 3 = m + 1. Từ đó suy ra m = 2.

Vậy khi m = 2 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm (1; 3).

• Với m = 2, đồ thị của ba hàm số là ba đường thẳng như hình bên (HS tự vẽ).

 

Giải bài 8 trang 125 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi H là trung điểm của OB, K là trung điểm của OD

a) Hỏi tứ giác AHCK là hình gì?

b) Hình bình hành ABCD phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AHCK là:

- Một hình thoi

- Một hình chữ nhật

- Một hình vuông

Lời giải chi tiết

a) Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.

Do H và K lần lượt là trung điểm của OB và OD nên .

Các kết quả trên cho thấy tứ giác AHCK có hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

b)

• Muốn tứ giác AHCK là hình thoi, ta cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và HK vuông góc với nhau, cũng có nghĩa là AC BD. Điều này xảy ra khi ABCD là hình thoi. Vậy điều kiện để tứ giác AHCK là hình thoi là tứ giác ABCD là hình thoi.
• Muốn tứ giác AHCK là hình chữ nhật, ta cần thêm điều kiện hai đường chéo AC và HK bằng nhau, tức là AC = HK. Do H và K lần lượt là trung điểm của OB và OD nên điều kiện đó cũng có nghĩa là . Vậy điều kiện để tứ giác AHCK là hình chữ nhật là ABCD có đường chéo BD dài gấp 2 lần đường chéo AC.
• Tứ giác AHCK là hình vuông khi nó vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật.
• Do đó, theo kết quả hai câu trên, để AHCK là một hình vuông, thì hình bình hành ABCD phải là hình thoi, đường chéo BD dài gấp 2 lần đường chéo AC.

Giải bài 9 trang 126 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC. Các đường trung tuyến AF, BE và CD cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của BG và CG

a) Chứng minh rằng tứ giác DEKI là hình bình hành

b) Biết AF = 6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng DI và EK

Lời giải chi tiết

a) Do DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC và DE = \(\frac{{BC}}{2}\).

Tương tự, IK là đường trung bình của tam giác GBC nên IK // BC và IK = \(\frac{{BC}}{2}\).

Từ hai kết quả trên, suy ra DE // IK và DE = IK. Tứ giác DEKI có hai cạnh đối diện song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = \(\frac{{2AF}}{3}\) = 4cm.

Mặt khác EF là đường trung bình của tam giác CAG nên EK = \(\frac{{AG}}{2}\) = 2cm.

Chứng minh tương tự ta cũng có DI là đường trung bình của tam giác BAG.

Từ đó suy ra DI = EK = 2cm.

Giải bài 10 trang 126 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

 Hình sau mô tả một dụng cụ đo bề dày (nhỏ hơn 1cm) của số sản phẩm. Dụng cụ này gồm một thướng AC = 10 cm, có vạch chia đến 1 mm, gắn với một bản kim loại có cạnh thẳng AB sao cho khoảng cách BC = 1cm.

 

Muốn đo bề dày của vật, ta kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước (đáy của vật áp vào bề mặt của thước AC). Khhi đó trên thước ta đọc đường "bề dày" d của vật (trên hình vẽ ta có d = 5,5mm). Hãy giả thích tại sao với dụng cụ đó, ta có thể đo được bề dày d của các vật (với d < 10 mm)

Lời giải chi tiết

Kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước như cách sử dụng đã mô tả; ta gọi B’C’ là đoạn ứng với bề dầy d cần đo của vât (nghĩa là d = B’C’). Dễ thấy B’C’ // BC vì cùng vuông góc với AC. Do đó , suy ra .

Do BC = 1 cm, AC = 10 cm nên đẳng thức này có nghĩa là B’C’ = .

Vậy bề dày d của vật đúng bằng độ dài (cm) của AC’.

Chẳng hạn trên thức đo, AC’ = 5,5 cm có nghĩa là d = .

Giải bài 11 trang 127 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng

a) ΔBIC  ΔEIF

b)

c) Cho biết AB = 6cm, BC = 3 cm. Tính EF

Lời giải chi tiết

a) Do BE là đường phân giác của góc B nên , ta có: (1).

Tương tự với đường phân giác CF, ta có: (2).

Bởi vậy, từ (1) và (2) ta suy ra , nghĩa là EF định ra trên hai cạnh AB và AC những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Do đó theo định lí Thales đảo ta có EF // BC. Từ đó suy ra (đpcm).

b) Hai tam giác BFI và CFB có chung, .

Do đó (đpcm).

c) Ta có EF // BC (chứng minh trên). Do đó: .

Từ đó suy ra EF = 3: = 2 (cm).

Giải bài 12 trang 128 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông, có các đường cao BE, CF cắt nhau tại điểm H

a) Giả sử ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng ΔABE  ΔACF , từ đó suy ra ΔAEF  ΔABC

b) Cho biết AB = 10 cm, BC = 15 cm và BE = 8 cm. Tính EF 

Lời giải chi tiết

a) Khi tam giác ABC nhọn, ta có hình bên.

Xét tam giác vuông ABE (vuông tại E) và tam giác vuông ACF (vuông tại F) có góc A chung nên ΔABE  ΔACF

=>

Xét tam giác AEF và tam giác ABC có: A chung và

=> (c.g.c)

Khi tam giác ABC là tam giác tù, chẳng hạn góc A tù hoặc góc B tù, tương ứng ta có hai hình sau (HS tự vẽ)

Chứng minh tương tự, ta thấy kết quả vẫn  đúng.

b) Theo định lí Pythagore, trong tam giác vuông ABE, ta có:

Theo kết quả câu a), ta có

Trả lời: EF = 9cm.

Giải bài 13 trang 128 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho bảng thống kê sau:

Xếp Loại	Tốt	Khá	Đạt	Không đạt
Lớp Vuông	7	10	15	10
Lớp Tròn	10	15	8	9

Để so sánh số lượng học sinh ở mỗi mức xếp loại của hai lớp ta nên dùng biểu đồ nào?

Lời giải chi tiết

Ta dùng biểu đồ cột kép như hình sau:

Giải bài 14 trang 129 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Báo điện tử Vnexpress đã khảo sát ý kiến của bạn đọc về phương án xử lý cầu Long Biên với câu hỏi "Bạn ủng hộ phương án xử lý nào với cầu Long Biên". Người trả lời chỉ được chọn một trong ba phương án: "Bảo tồn", "Vừa bảo tồn vừa sử dụng", "Di dời, xây cầy mới"

a) Dữ liệu thu được thuộc loại nào?

b) Tỉ lệ lựa chọn các phương án được chọn trong biểu đồ sau:

 

Biết tổng số lượt bạn đọc tham gia trả lời câu hỏi là 1 819. Tính số lượt đọc lựa chọn mỗi phương án

Lời giải chi tiết

a) Dữ liệu thu được không là số, không thể sắp xếp thứ tự.

b) Số lượt bạn đọc lựa chọn phương án “bảo tồn” là:

1 819 . 34% = 619 lượt.

Số lượt bạn đọc lựa chọn phương án “vừa bảo tồn vừa sử dụng” là:

1 819 . 54% = 982 lượt.

Số lượt bạn đọc lựa chọn phương án “di dời, xây cầu mới” là:

1 819 . 12% = 218 lượt.

Giải bài 15 trang 130 vở thực hành Toán 8 tập 2

Đề bài

Một túi đựng 24 viên bi giống hệt nhau và chỉ khác màu, trong đó có 9 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng và 5 viên bi màu đen. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi

a) Có bao nhiêu kết quả có thể? Các kết quả có thể này đồng khả năng không? Tại sao

b) Tính khả năng để xảy ra mỗi kết quả có thể đó

c) Tính xác suất để An lấy được:

- Viên bi màu vàng hoặc màu đỏ

- Viên bi màu đen hoặc màu xanh

- Viên bi không có màu đen

Lời giải chi tiết

a) Có 4 kết quả có thể là:

A: “An bốc được viên bi màu đỏ”;

B: “An bốc được viên bi màu xanh”;

C: “An bốc được viên bi màu vàng”;

D: “An bốc được viên bi màu đen”.

b)

c)

Gọi E là biến cố “An lấy được viên màu đỏ hoặc màu vàng”.

Ta có 9 + 4 = 13. Do đó số viên bi đỏ hoặc vàng là 13 viên. Điều đó có nghĩa là có 13 kết quả thuận lợi cho E.

Vậy P(E) =.

Gọi F là biến cố “An lấy được viên bi màu đen hoặc màu xanh”.

Ta có 5 + 6 = 11. Do đó số viên bi màu đen hoặc màu xanh là 11 viên. Điều đó có nghĩa là có 11 kết quả thuận lợi cho F.

Vậy P(F) = .

Gọi G là biến cố “An lấy được viên bi không có màu đen”.

Ta có số viên bi màu đen là 5. Do đó số viên bi không có màu đen là 19 viên. Điều đó có nghĩa là có 19 kết quả thuận lợi cho G.

Vậy P(G) =.