Bài tập ôn tập cuối năm

Giải bài 1 trang 104 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) ;

b) .

Giải bài 2 trang 104 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Tính một cách hợp lí

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) ;

b) .

Giải bài 3 trang 104, 105 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

a) Tìm x, biết: .

b) Có hay không số x thỏa mãn điều kiện ?

c) Hãy ước tính (không tra bảng hay máy tính) số dương x (lấy đến một chữ số sau dấu phẩy) sao cho . Sau đó dùng máy tính cầm tay (hoặc tra bảng) để tính x, chính xác đến hàng phần chục, để kiểm tra xem con số em ước tính chênh lệch bao nhiêu so với kết quả bằng máy tính.

Lời giải chi tiết

a) hay . Suy ra .

b) Vì với mọi x mà nên không có số x nào thỏa mãn đề bài.

c) Vì x là số dương nên từ suy ra . Ta có .

Giá trị chính xác đến hàng phần chục của x (bằng cách dùng máy tính) là 3,6.

Kết quả ước tính và tính độ chênh lệch theo yêu cầu đề bài sẽ tùy thuộc vào ước tính số dương x của từng học sinh.

Giải bài 4 trang 105 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Hai người thợ cùng làm tổng cộng được 136 sản phẩm (thời gian làm như nhau). Hỏi mỗi người thợ làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người thợ thứ nhất làm một sản phẩm mất 9 phút, còn người thứ hai mất 8 phút?

Lời giải chi tiết

Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm mà người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm được. Theo đề bài ta có: .

Khi thời gian làm việc không đổi thì số sản phẩm làm được và thời gian để làm một sản phẩm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó ta có: hay .

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: .

Từ đây suy ra và .

Vậy người thợ thứ nhất làm được 64 sản phẩm và người thợ thứ hai làm được 72 sản phẩm.

Giải bài 5 trang 105 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Ba khối 6, 7, 8 của một trường Trung học cơ sở tham gia quyên góp vở tặng các bạn vùng khó khăn. Biết rằng số vở quyên góp được của ba khối theo thứ tự tỉ lệ thuận với 8, 7, 6 và số vở khối 8 quyên góp được ít hơn số vở khối 6 quyên góp được là 80 quyển. Hỏi mỗi khối quyên góp được bao nhiêu quyển vở?

Lời giải chi tiết

Gọi x, y, z lần lượt là số quyển vở mà ba khối 6, 7, 8 quyên góp được.

Theo đề bài ta có: và .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: .

Suy ra và và .

Vậy số quyển vở quyên góp được của ba khối 6, 7, 8 lần lượt là 320 quyển, 280 quyển và 240 quyển.

Giải bài 6 trang 105, 106 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hai đa thức và .

a) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do trong mỗi đa thức đã cho.

b) Tính giá trị của đa thức tại .

c) Chứng minh rằng và là ba nghiệm của đa thức .

d) Trình bày phép nhân A.B bằng hai cách.

e) Tìm đa thức R có bậc nhỏ hơn 2 sao cho hiệu chia hết cho B.

Lời giải chi tiết

a) Hệ số cao nhất của là 6 và hệ số tự do là -7.

Hệ số cao nhất của là 2 và hệ số tự do là -7.

b) Đặt , ta có

Giá trị của tại là:

c) Đặt , ta có

Ta có: và .

Vậy , là các nghiệm của D(x).

d) Cách 1: Khai triển tích:

Cách 2: Đặt tính nhân:

e) Chia A cho B bằng cách đặt tính chia:

Từ đó suy ra:

Nếu đặt thì đẳng thức trên có nghĩa là , suy ra

Vậy chia hết cho B và đa thức cần tìm là .

Giải bài 7 trang 107 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Người ta đổ đầy nước vào một cái bể hình hộp chữ nhật, sau đó nhấn chìm một khối lập phương (đặc) có độ dài các cạnh bằng x(dm) vào trong bể. Biết rằng chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể lần lượt bằng và (xem dưới đây).

a) Tìm đa thức biểu thị lượng nước còn lại trong bể.

b) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức trong câu a.

c) Sử dụng kết quả câu a để tính lượng nước còn lại trong bể (đơn vị ) khi .

Lời giải chi tiết

a) Thể tích bể nước là:

Thể tích khối lập phương (ứng với lượng nước tràn) là: .

Lượng nước còn lại trong bể là: .

b) là đa thức bậc hai, hệ số cao nhất bằng 6 và hệ số tự do bằng 6.

c) Khi , lượng nước còn lại trong bể là: .

Giải bài 8 trang 107,108 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho .

a) Chứng minh rằng . Từ đó suy ra và AM//BC.

b) Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng AN//BC.

c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.

Lời giải chi tiết

a) và có:

(do D là trung điểm của AB).

(hai góc đối đỉnh)

(giả thiết)

Nên (c.g.c).

Suy ra (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM//BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

b) và có:

(do E là trung điểm của AC).

(hai góc đối đỉnh)

(theo giả thiết)

Nên (c.g.c).

Suy ra (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AN//BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

c) Ta có AM//BC (chứng minh trên), AN//BC (chứng minh trên) nên AM và AN trùng nhau (theo tiên đề Euclid).

Từ đó suy ra ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Ta lại có (chứng minh trên) và (chứng minh trên), do đó .

Từ đó suy ra A là trung điểm của MN.

Giải bài 9 trang 108, 109, 110 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh \(AH \bot BC\).

b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm M; trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho \(BM = CN\). Chứng minh rằng \(\Delta ABM = \Delta ACN\).

c) Gọi I là điểm trên AM, K là điểm trên AN sao cho \(BI \bot AM;CK \bot AN\). Chứng minh rằng tam giác AIK cân tại A, từ đó suy ra IK//MN.

Lời giải chi tiết

a) \(\Delta \)ABC cân tại A (giả thiết)

Mà AH là đường trung tuyến (H là trung điểm của BC)

Nên AH là đường cao của \(\Delta ABC\) (tính chất tam giác cân).

Vậy \(AH \bot BC\).

b) Ta có: \(\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = {180^o}\) (hai góc kề bù), \(\widehat {ACN} + \widehat {ACB} = {180^o}\) (hai góc kề bù).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

\(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có:

\(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A).

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên)

\(BM = CN\) (giả thiết)

Nên \(\Delta ABM = \Delta ACN\) (c.g.c).

c) Ta có \(\Delta ABM = \Delta ACN\) (chứng minh trên) suy ra \(\widehat {BMI} = \widehat {CNK}\) (hai góc tương ứng) và \(AM = AN\) (hai cạnh tương ứng).

\(\Delta BIM\left( {\widehat {BIM} = {{90}^o}} \right)\) và \(\Delta CKN\left( {\widehat {CKN} = {{90}^o}} \right)\) có:

\(BM = CN\) (giả thiết)

\(\widehat {BMI} = \widehat {CNK}\) (chứng minh trên)

Nên \(\Delta BIM = \Delta CKN\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(MI = NK\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(AM = AN\) (chứng minh trên) nên \(AI = AK\), suy ra \(\Delta AIK\) cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Ta có \(AM = AN\)(chứng minh trên) nên \(\Delta AMN\) cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Suy ra \(\widehat {AMN} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {MAN}}}{2}\).

Ta có \(\Delta AIK\) cân tại A (chứng minh trên) nên \(\widehat {AIK} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {IAK}}}{2}\).

Từ đó \(\widehat {AIK} = \widehat {AMN}\left( { = \frac{{{{180}^o} - \widehat {IAK}}}{2}} \right)\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK//MN (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Giải bài 10 trang 110, 111 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt BA tại M. Chứng minh rằng:

a) .

b) Tam giác AED cân.

c) .

d) Tam giác BCM là tam giác đều và , biết .

Lời giải chi tiết

a) và có:

(theo giả thiết).

BH là cạnh chung

(H là trung điểm của AD)

Nên (c.c.c).

b) Ta có: (chứng minh trên), suy ra (hai góc tương ứng)

và có:

(giả thiết).

(chứng minh trên)

BE là cạnh chung

Nên (c.g.c) suy ra (hai cạnh tương ứng).

Nên cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

c) (chứng minh trên) nên .

và có:

,

(chứng minh trên),

(hai góc đối đỉnh).

Nên (g.c.g). Suy ra .

vuông tại D nên (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).

Mà (chứng minh trên) nên .

d) Ta có (chứng minh trên) suy ra (hai cạnh tương ứng).

Mà (giả thiết) nên .

có: (chứng minh trên)

Nên cân tại B (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Mà . Nên là tam giác đều.

Mặt khác nên CA là đường cao cũng là đường trung tuyến của , nên MD là đường cao cũng là đường trung tuyến của .

Từ đó suy ra E là trọng tâm của nên .

Giải bài 11 trang 111, 112 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Bình thu thập số liệu về số học sinh phổ thông của cả nước từ năm 2015 đến năm 2020 và vẽ được biểu đồ dưới đây:

a) Số học sinh phổ thông cả nước từ năm 2015 đến năm 2020 có xu thế tăng hay giảm?
b) Hãy lập bảng thống kê về số lượng học sinh phổ thông của cả nước từ năm 2015 đến năm 2020.
c) Theo em, Bình đã dùng cách nào trong các cách thu thập dữ liệu đã học để có được số liệu trên?

Lời giải chi tiết

a) Số học sinh phổ thông cả nước từ năm 2015 đến năm 2020 có xu thế tăng.

b) Bảng thống kê:

c) Bình có thể thu thập số liệu này từ các nguồn có sẵn như sách, báo, internet, tài liệu.

Chẳng hạn, Bình có thể vào website của Tổng cục thống kê để tra số liệu.

Giải bài 12 trang 112, 113 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Biểu đồ sau đây cho biết tổng số huy chương thế giới mà thể thao Việt Nam giành được trong các năm từ 2015 đến 2019:

a) Lập bảng thống kê về số huy chương thế giới mà thể thao Việt Nam giành được trong các năm từ 2015 đến 2019.
b) Trong các năm trên, năm nào thể thao Việt Nam giành được ít huy chương thế giới nhất?
c) Tỉ lệ các loại huy chương thế giới của thể thao Việt Nam trong năm 2019 được cho trong biểu đồ sau:

Tính số lượng mỗi loại huy chương thế giới mà thể thao Việt Nam giành được trong năm 2019.

Lời giải chi tiết

a) Bảng thống kê về số huy chương thế giới mà thể thao Việt Nam giành được trong các năm từ 2015 đến 2019:

b) Năm 2018 là năm thể thao Việt Nam giành được ít huy chương thế giới nhất, với 116 huy chương.

c) Tổng số huy chương thế giới mà thể thao Việt Nam đạt được trong năm 2019 là 238 huy chương. Tỉ lệ huy chương vàng là 47,48% nên số huy chương vàng đạt được là (huy chương). Tỉ lệ huy chương bạc là 27,31% nên số huy chương bạc đạt được là (huy chương). Tỉ lệ huy chương đồng là 25,21% nên số huy chương đồng đạt được là (huy chương).

Giải bài 13 trang 113, 114 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Trong trò chơi Vòng quay may mắn, người chơi sẽ quay một bánh xe hình tròn. Bánh xe được chia làm 12 hình quạt bằng nhau như hình dưới. Trong mỗi hình quạt có ghi số điểm mà người chơi sẽ nhận được. Có hai hình quạt ghi 100 điểm; hai hình quạt ghi 200 điểm; hai hình quạt ghi 300 điểm; hai hình quạt ghi 400 điểm; một hình quạt ghi 500 điểm; hai hình quạt ghi 1 000 điểm; một hình quạt ghi 2 000 điểm. Khi bánh xe dừng lại, mũi tên (đặt cố định ở phía trên) chỉ vào hình quạt nào thì người chơi nhận được số điểm ghi trong hình quạt đó.

Bạn Mai tham gia trò chơi và quay một lần. Tính xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt:
a) Có số điểm nhỏ hơn 3 000;
b) Có số điểm nhỏ hơn 100;
c) Có số điểm lớn hơn 300;
d) Có số điểm là 2 000.

Lời giải chi tiết

a) Biến cố: “Mũi tên dừng ở hình quạt có số điểm nhỏ hơn 3 000” là biến cố chắc chắn do đó xác suất bằng 1.

b) Biến cố: “Mũi tên dừng ở hình quạt có số điểm nhỏ hơn 100” là biến cố không thể do đó xác suất bằng 0.

c) Có 6 hình quạt mang điểm số lớn hơn 300 và 6 hình quạt mang số điểm nhỏ hơn hay bằng 300. Các hình quạt này có diện tích bằng nhau.

Vậy, biến cố A: “Mũi tên dừng ở hình quạt có số điểm lớn hơn 300” và biến cố B: “Mũi tên dừng ở hình quạt có số điểm nhỏ hơn 300” là đồng khả năng.

Mặt khác luôn xảy ra một và chỉ một trong hai biến cố A, B. Vậy xác suất của biến cố A bằng .

d) 12 hình quạt có diện tích bằng nhau. Vậy khả năng mũi tên dừng ở mỗi hình quạt là như nhau. Có 1 hình quạt mang số điểm 2 000. Vậy xác suất cần tìm bằng