Bài tập ôn tập cuối năm

Giải bài 1 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho các mệnh đề:

P: “Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm phân biệt”;

Q: “Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\)”. 

a) Hãy phát biểu các mệnh đề: \(P \Rightarrow Q\), \(Q \Rightarrow P\), \(P \Leftrightarrow Q\), \(\overline{P} \Rightarrow \overline{Q}\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

b) Dùng các khái niệm "điều kiện cần” và "điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

c) Gọi X là tập hợp các phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c =0 \) có hai nghiệm phân biệt, Y là tập hợp các phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c=0\) có hệ số a và c trái dấu. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.

Lời giải chi tiết

a)               

+ Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\): Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm phân biệt thì nó có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\). Mệnh đề này đúng.

+ Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\): Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\) thì nó có hai nghiệm phân biệt. Mệnh đề này đúng.

+ Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\): Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi nó có có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\). Mệnh đề này đúng.

+ Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\), \(Q \Rightarrow P\), \(P \Leftrightarrow Q\), \(\overline{P} \Rightarrow \overline{Q}\): Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) không có hai nghiệm phân biệt thì nó có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\). Mệnh đề này đúng.

b) + Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c=0\) có hai nghiệm phân biệt là điều kiện đủ để nó có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\).

+ Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c=0\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac > 0\) là điều kiện cần để nó có hai nghiệm phân biệt.

c) Các phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) có hệ số a và c trái dấu thì luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Vậy \(Y \subset X\).

Giải bài 2 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

a) Biểu diễn hình học tập nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

 \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x - 2y \ge  - 6\\2x + y \le 10\end{array} \right.\)

b) Từ kết quả ở câu a), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D, biết rằng giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D.

Lời giải chi tiết

a) - Bước 1: Trục Oy có phương trình x = 0 và điểm (1; 0) thoả mãn 1 > 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình  là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (miền không bị gạch).

- Bước 2: Trục Ox có phương trình y = 0 và điểm (0; 1) thoả mãn 1> 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình  là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1) (miền không bị gạch).

- Bước 3: Vẽ đường thẳng: 3x - 2y = -6. Lấy điểm O(0;0) không thuộc , và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 3x - 2y ta được: 3.0 – 2.0 = 0>-6. Do đó miền nghiệm của bất phương trình 3x - 2y = -6 là nửa mặt phẳng bờ, chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).

- Bước 4: Vẽ đường thẳng: 2x + y = 10 và điểm O(0; 0) thoả mãn 2.0 + 0 = 0 < 10. Do đó miền nghiệm của bất phương trình 2x + y = 10 là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).

Vậy miền nghiệm D của hệ là miền tứ giác OABC (miền không bị gạch), trong đó A(0; 3), B(2; 6), C(5; 0), như hình vẽ sau:

 

b) Ta có: F(0; 0) = 2.0 + 3.0 = 0; F(0; 3) = 2.0 + 3.3 = 9.

F(2; 6) = 2.2 + 3.6 = 22; F(5; 0) = 2.5 + 3.0= 10.

Vậy trên miền D: giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) = 2x +3y là 22 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y)=2x +3y là 0.

Giải bài 3 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam thức bậc hai với đồ thị là parabol có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm A(2; 3).

a) Xác định các hệ số a, b, c của tam thức bậc hai f(x).

b) Vẽ parabol này.

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b), hãy cho biết khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và tập giá trị của hàm số y = f(x).

d) Lập bảng xét dấu để giải bất phương trình \(\frac{{f(x)}}{{x - 2}} \ge 0\).

Lời giải chi tiết

a)  Parabol có đỉnh là I(1; 4) nên phương trình có dạng \(y = a{(x - 1)^2} + 4\).

Vì điểm A(2; 3) thuộc parabol nên ta có:

\(3 = a{(2 - 1)^2} + 4 \Rightarrow a =  - 1\).

Vậy tam thức cần tìm là \(f(x) =  - {x^2} + 2x + 3\) ta có a = -1, b = 2, c = 3.

b) Ta có a = -1.

Đỉnh I(1; 4), trục đối xứng x = 1.

Giao điểm của parabol với trục Oy là (0; 3), với trục Ox là (-1; 0) và (3; 0).

 

c) Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1), nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Tập giá trị của hàm số là (-∞; 4].

d) Xét bất phương trình \(\frac{{f(x)}}{{x - 2}} \ge 0\) hay \(\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{x - 2}} \ge 0\).

\(f(x) =  - {x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 3\).

\(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Ta có bảng xét dấu sau:

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(( - \infty ; - 1] \cup (2;3]\).

Giải bài 4 trang 71 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một quả bóng chày được đánh đi với vận tốc 35 m/s hợp với phương ngang một góc bằng 45° ở độ cao 1m so với mặt sân phẳng ở chỗ vụt bóng. Bỏ qua sức cản của không khí và lấy g = 9,8 m/s.

a) Biết rằng quỹ đạo chuyển động của quả bóng chày được cho bởi phương trình:

\(y = \frac{{ - g}}{{2{v_o}^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha  + h\)

trong đó x là quãng đường (tính bằng mét) quả bóng bay được theo phương ngang, h là độ cao của quả bóng lúc được đánh đi so với mặt đất, vận tốc ban đầu \({v_o}\) hợp với phương ngang một góc \(\alpha \).

Viết phương trình chuyển động của quả bóng chày.

b) Tính độ cao lớn nhất của quả bóng chày.

c) Tính tầm xa của quả bóng chày, tức là khoảng cách từ mặt đất ở chỗ đánh bóng và nơi quả bóng chạm đất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Có một hàng rào cao 4 m cách chỗ đánh bóng 125 m theo hướng đánh bóng. Hỏi quả bóng chày được đánh đi như trên có bị bay qua hàng rào đó hay không?

Lời giải chi tiết

a)  Phương trình chuyển động của quả bóng chày là:

\(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.35}^2}{{\cos }^2}{{45}^ \circ }}}{x^2} + x\tan {45^ \circ } + 1 \)

\(= \frac{{ - 1}}{{125}}{x^2} + x + 1\).

b) Hàm số trên đạt giá trị lớn nhất tại \(x=\frac {-b}{2a} = 62,5\), \( y(62,5) = 32, 25\).

Vậy độ cao cực đại của quả bóng là 32,25 m.

c) Xét \(y = \frac{{ - 1}}{{125}}{x^2} + x + 1 = 0 \Leftrightarrow x \approx 126\) hoặc \(x \approx  - 1\) (loại).

Vậy tầm xa của quả bóng chày là khoảng 126 m.

d) Xét \(y = \frac{{ - 1}}{{125}}{x^2} + x + 1 < 4\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - 125x + 375 > 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 3\\x > 122\end{array} \right.\)

Vậy quả bóng chày không bị bay qua hàng rào đó.

Giải bài 5 trang 71 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một công ty thời trang thấy rằng khi một loại áo phông được bán ở mức giá x (nghìn đồng) một chiếc thì số lượng áo phông bán được n cho bởi phương trình nhu cầu.

n = 21 000 - 150x. 

a) Tìm công thức biểu diễn doanh thu R như là hàm của giá bán x. Tìm miền xác định của hàm số R = R(x). 

b) Giá bán nào sẽ làm cho doanh thu đạt cực đại? Tính doanh thu cực đại đó và số áo phông bán được trong trường hợp đó.

c) Với giá bán như thế nào thì công ty sẽ đạt được ít nhất 675 triệu đồng doanh thu? 

Lời giải chi tiết

a) Công thức biểu diễn doanh thu R là:

\(R(x) = (21000 - 150x)x\)

\(=  - 150{x^2} + 21000x\) (nghìn đồng).

Miền xác định của hàm số R(x) là D= [0;140].

b) R(x) đạt cực đại tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 70\), thay vào R ta có R = 735 000.

Vậy công ty bán với giá 70 nghìn đồng mỗi chiếc thì doanh thu đạt cực đại là 735 triệu đồng.

Số áo phông bán được trong trường hợp đó là:

n = 21 000 – 150 - 70 = 10 500 (chiếc).

c) Đổi: 675 triệu đồng = 675 000 nghìn đồng.

Xét bất phương trình:

\( - 150{x^2} + 21000x \ge 675000\)

\( \Leftrightarrow  - 150{x^2} + 21000x - 675000 \ge 0\)

\(\Leftrightarrow 50 \le x \le 90\).

Vậy với giá bán từ 50 nghìn đồng đến 90 nghìn đồng mỗi chiếc thì công ty sẽ đạt được ít nhất 675 triệu đồng doanh thu.

Giải bài 6 trang 71 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Người ta ước tính rằng trong khoảng từ năm 2010 đến năm 2030, số lượng điện thoại di động bán được của một công ty có thể được xấp xỉ bởi một hàm số bậc hai. Năm 2010 công ty đó bán được khoảng 19 nghìn chiếc điện thoại di động và năm 2019 bán được khoảng 100 nghìn chiếc điện thoại di động. Giả sử t là số năm tính từ năm 2010. Số điện thoại di động bán được năm 2010 được biểu diễn bởi điểm (0; 19) và số điện thoại di động bán được năm 2019 được biểu diễn bởi điểm (9; 100). Giả sử điểm (0; 19) là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này. 

a) Tìm hàm số bậc hai biểu diễn số điện thoại di động công ty đó bản được qua từng năm.

b) Dựa trên mô hình này, hãy tính số điện thoại di động bán được năm 2024.

c) Dựa trên mô hình này, hãy ước lượng xem khi nào thì số điện thoại di động bán được được vượt mức 300 nghìn chiếc.

Lời giải chi tiết

a) Giả sử \(y = a{t^2} + bt + c\) \((a \ne 0)\) là hàm số mô tả số lượng điện thoại di động bán được qua từng năm, trong đó t là số năm tính từ năm 2010.

Có (0; 19) là đỉnh của đồ thị hàm số nên b = 0 và c = 19.

Điểm (9; 100) thuộc đồ thị hàm số nên ta có:

\(100 = a{.9^2} + 19 \Leftrightarrow 81a - 81 = 0 \Leftrightarrow a = 1\).

Vậy hàm số cần tìm là: \(y = {t^2} + 19\)

b) Năm 2024 tương ứng với t = 14.

Số lượng điện thoại di động bán được trong năm 2024 là:

\(y = {14^2} + 19 = 215\) (nghìn chiếc).

c) Xét bất phương trình \({t^2} + 19 > 300\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 281 > 0 \Rightarrow t > 16,8\).

Vậy từ năm 2027 trở đi (đến năm 2030) thì số điện thoại di động bán được được vượt mức 300 nghìn chiếc.

Giải bài 7 trang 72 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(\sqrt {{x^2} + 2mx - 2m + 3} \)  có tập xác định là toàn bộ tập số thực \(\mathbb R\).

Lời giải chi tiết

Hàm số đã cho có tập xác định là R khi và chỉ khi \({x^2} + 2mx - 2m + 3 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Xét \(f(x) = {x^2} + 2mx - 2m + 3\) có \(\Delta ' = {m^2} + 2m - 3\) và \(a = 1 > 0\).

Ta có \(f(x) \ge 0\), \(\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 \le 0\)

\(\Leftrightarrow (m + 3)(m - 1) \le 0 \Leftrightarrow  - 3 \le m \le 1\).

Vậy \(m \in [-3;1]\) thì hàm số có tập xác định là \(\mathbb R\).

Giải bài 8 trang 72 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các phương trình chứa căn thức sau: 

a) \(\sqrt {3{x^2} - 4x + 1}  = \sqrt {{x^2} - x} \);

b) \(\sqrt {6{x^2} - 11x - 3}  = 2x - 1\).

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt {3{x^2} - 4x + 1}  = \sqrt {{x^2} - x} \)

\( \Rightarrow 3{x^2} - 4x + 1 = {x^2} - x\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow (x - 1)(2x - 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Thử lại ta thấy PT đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1\).

b) \(\sqrt {6{x^2} - 11x - 3}  = 2x - 1\)

\(\Rightarrow 6{x^2} - 11x - 3 = {\left( {2x - 1} \right)^2}\)

\(\Leftrightarrow 6{x^2} - 11x - 3 = 4{x^2} - 4x + 1\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 7x - 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Thử lại ta thấy PT đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 4\).

Giải bài 9 trang 72 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Đội văn nghệ của một trường trung học phổ thông gồm có 5 học sinh khối lớp 10, 5 học sinh khối lớp 11 và 5 học sinh khối lớp 12. Nhà trường cần chọn một đội gồm 10 học sinh để tham gia thi văn nghệ cấp huyện. Tính số cách lập đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba khối lớp và có nhiều nhất 2 học sinh khối lớp 10. 

Lời giải chi tiết

Đội văn nghệ có học sinh ở cả ba khối lớp và có nhiều nhất 2 học sinh khối lớp 10 nên ta có 2 phương án:

- Phương án 1: Có 1 học sinh khối lớp 10.

Chọn ra 1 học sinh lớp 10 từ 5 học sinh có 5 cách.

Chọn ra 9 học sinh từ 2 khối 11 và 12 có \(C_{10}^9 = 10\) cách.

- Phương án 1: Có 2 học sinh khối lớp 10.

Chọn ra 2 học sinh lớp 10 từ 5 học sinh có \(C_5^2 = 10\) cách.

Chọn ra 9 học sinh từ 2 khối 11 và 12 có \(C_{10}^8 = 45\) cách.

Vậy có tổng số cách chọn theo yêu cầu là 5.10 + 10.45 = 500 cách.

Giải bài 10 trang 72 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết khai triển nhị thức Newton của \({(3x - 2)^n}\), biết n là số tự nhiên thoả mãn \(A_n^2 + 2C_n^1 = 30\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(A_n^2 + 2C_n^1 = 30 \)

\(\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} + 2\frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} = 30\)

\(\Leftrightarrow n(n - 1) + 2n - 30 = 0\)

\(\Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0\)

\( \Leftrightarrow n = 5\) (thỏa mãn) hoặc \(n =  - 6\) (loại).

Khi đó \({(3x - 2)^n} = {(3x - 2)^5}\)

\(= {(3x)^5} + 5{(3x)^4}.( - 2) + 10{(3x)^3}{( - 2)^2}\)

\(+ 10{(3x)^2}{( - 2)^3}+ 5.3x{( - 2)^4} + {( - 2)^5}\)

\(= 243{x^5} - 810{x^4} + 1080{x^3} - 720{x^2} + 240x - 32\).

Giải bài 11 trang 72 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4.

a) Tính diện tích S của tam giác.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{4 + 3 + 2}}{2} = \frac{9}{2}\).

\( \Rightarrow S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}\)

\(  = \sqrt {\frac{9}{2}\left( {\frac{9}{2} - 4} \right)\left( {\frac{9}{2} - 3} \right)\left( {\frac{9}{2} - 2} \right)}  = \frac{{3\sqrt {15} }}{4}\).

b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Ta có:

\(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{4.3.2}}{{4.\frac{{3\sqrt {15} }}{4}}} = \frac{{8\sqrt {15} }}{{15}}\).

Giải bài 12 trang 72 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(3; 4), B(8; 6). Kẻ đường phân giác trong OD của tam giác OAB (D thuộc đoạn AB). 

a) Tính OA, OB.

b) Chứng minh rằng  \(\overrightarrow {OD}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} \).

c) Tìm toạ độ điểm D.  

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(OA = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\); \(OB = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10\).

b) Theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BD = 2AD\).

Do D thuộc AB nên \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BD} \) ngược hướng.

\(\Rightarrow \overrightarrow {BD}  =  - 2\overrightarrow {AD} \)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OB}  =  - 2\left( {\overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OA} } \right)\)

\(\Leftrightarrow 3\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OA} \)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {OD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OA} \).

c) Gọi \(D({x_o};{y_o})\).

Từ b) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_o} = \frac{2}{3}{x_A} + \frac{1}{3}{x_B} = \frac{{14}}{3}\\{y_o} = \frac{2}{3}{y_A} + \frac{1}{3}{y_B} = \frac{{14}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( {\frac{{14}}{3};\frac{{14}}{3}} \right)\).

Giải bài 13 trang 72 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AC, AB. Biết rằng M( 1; 2), N(0; -1) và P(-2; 3). 

a) Lập phương trình tham số của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC có:

P, N là trung điểm của AB, AC \( \Rightarrow\) PN // BC.

Do đó \( \overrightarrow {{u_{BC}}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {PN}  = (1; - 2)\) là vectơ chỉ phương của BC.

Có BC đi qua M(1; 2) nên BC có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\end{array} \right.\)

b) Gọi \(\Delta \) là đường trung trực của BC.

- \(\Delta \) đi qua điểm M(1; 2) là trung điểm BC.

- \(\Delta \) vuông góc với BC nên \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {{u_{BC}}}  = (1; - 2)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).

Vậy phương trình tổng quát của \(\Delta \) là:

\(1(x-1)- 2(y-2)=0 \Leftrightarrow x-2y+3=0\).

Giải bài 14 trang 72 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường thẳng: \(\Delta :3x + 4y - 25 = 0\). Gọi (C) là đường tròn tâm O và tiếp xúc với \(\Delta \).

a) Viết phương trình đường tròn (C).

b) Tìm toạ độ tiếp điểm H của \(\Delta \) và (C).

Lời giải chi tiết

a) Bán kính của (C) bằng:

\(R = d(O,\Delta ) = \frac{{\left| {3.0 + 4.0 - 25} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 5\).

Vậy phương trình đường tròn (C) tâm O(0;0) bán kính R=5 là \({x^2} + {y^2} = 25\).

b) Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc (C) tại điểm H

\(\Rightarrow OH \bot \Delta \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = (3;4)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {{n_{OH}}}  = ( - 4;3)\).

Phương trình đường thẳng OH là \(4x- 3y= 0\).

Ta có \(H = OH \cap \Delta \), do đó tọa độ H là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 25 = 0\\4x - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\)

Vậy H(3; 4).

Giải bài 15 trang 73 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm \(t(0 \le t \le 180)\), vật thể có vị trí toạ độ \(\left( {4\cos t^\circ ;{\rm{ }}3\sin t^\circ } \right)\). 

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Lời giải chi tiết

a) Vị trí ban đầu của vật thể ứng với \(t = 0 \Rightarrow\) Vật thể ở vị trí có toạ độ là \({A_1} = \left( {4\cos 0^\circ ;{\rm{ }}3\sin 0^\circ } \right) = \left( {4;0} \right)\).

Vị trí kết thúc của vật thể ứng với \(t = 180 \Rightarrow\) Vật thể ở vị trí có toạ độ là \({A_2} = \left( {4\cos {{180}^ \circ };3\sin {{180}^ \circ }} \right) = \left( { - 4;0} \right)\).

b) Từ đẳng thức \(\left( {4\cos t^\circ ;3\sin t^\circ } \right)\) là toạ độ của vật thể M, ta có \({\left( {\frac{{{y_M}}}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_M}}}{4}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{x_M^2}}{{16}} + \frac{{y_M^2}}{9} = 1\).

Do đó vật thể chuyển động trên đường elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Khi thay đổi trên đoạn [0; 180] thì sin t° thay đổi trên đoạn [0; 1] và cos t° thay đổi trên đoạn [-1; 1].

\( \Rightarrow 4\cos t^\circ  \in \left[ { - 4;4} \right]\) và \(3\sin t^\circ  \in \left[ {0;3} \right]\).

Vậy quỹ đạo của vật thể (hay là tập hợp điểm M) là nửa đường elip (E) nằm trên trục hoành.

Giải bài 16 trang 73 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Bảng sau đây cho biết lượng mưa trung bình hằng tháng tại Đà Nẵng và Hà Nội (mm).

(Theo WWW.Weatherspark.com) 

a) Đà Nẵng hay Hà Nội có lượng mưa trung bình cả năm cao hơn? 

b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu về lượng mưa trung bình các tháng tại Đà Nẵng và Hà Nội. Nhận xét gì về sự phân tán của hai mẫu số liệu này?

Lời giải chi tiết

a) Lượng mưa trung bình cả năm của Đà Nẵng là:

\(\overline x  = \frac{{39,5 + 13,2 + ... + 145,1}}{{12}} \approx 115,79\).

Lượng mưa trung bình cả năm của Hà Nội là:

\(\overline y  = \frac{{13,0 + 11,9 + ... + 14,1}}{{12}} \approx 95,08\).

Vậy Đà Nẵng có lượng mưa trung bình cả năm cao hơn Hà Nội.

b) Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu là:

+ Đà Nẵng:

Sắp xếp lượng mưa trung bình hàng tháng theo thứ tự tăng dần, ta được:

13,2

14,1

28

39,5

58,6

60,2

62,5

119,6

145,1

253,5

291,2

304

Khoảng biến thiên \({R_1} = 304,0 - 13,2 = 290,8\).

Trung vị \({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {60,2 + 62,5} \right) = 61,35\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1} = \frac{1}{2}\left( {28 + 39,5} \right) = 33,75\).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {145,1 + 253,5} \right) = 199,25\).

Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = 199,25 - 33,75 = 165,5\).

Phương sai \({s_1}^2 = \frac{{{{\left( {13,2 - 115,79} \right)}^2} + ... + {{\left( {304,0 - 115,79} \right)}^2}}}{{12}} \approx 10801,9074\).

Độ lệch chuẩn \({s_1} = \sqrt {{s_1}^2}  = \sqrt {10801,9074}  \approx 103,93\).

+ Hà Nội:

Sắp xếp lượng mưa trung bình hàng tháng theo thứ tự tăng dần, ta được:

11,9

13

14,1

29,2

45

52,5

84,8

126,3

160,1

173,8

204

226,2

Khoảng biến thiên \({R_2} = 226,2 - 11,9 = 214,3\).

Trung vị \({Q_2}' = \frac{1}{2}(52,5 + 84,8) = 68,65\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}' = \frac{1}{2}\left( {14,1 + 29,2} \right) = 21,65\).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}' = \frac{1}{2}\left( {160,1 + 173,8} \right) = 166,95\).

Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q}' = 166,95 - 21,65 = 145,3\).

Phương sai \({s_2}^2 = \frac{{{{\left( {11,9 - 95,08} \right)}^2} + ... + {{\left( {226,2 - 95,08} \right)}^2}}}{{12}} \approx 5786,322\).

Độ lệch chuẩn \({s_2} = \sqrt {{s_2}^2}  = \sqrt {5786,322}  \approx 76,07\).

So sánh: \({R_1} > {R_2};{\Delta _Q} > \Delta {'_Q};{s_1} > {s_2}\).

Kết luận: Dãy số liệu về lượng mưa trung bình của các tháng tại Đà Nẵng phân tán hơn so với tại Hà Nội.

Giải bài 17 trang 73 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Khi tham gia một trò chơi quay số trúng thưởng, mỗi người chơi chọn một số 4 chữ số (có tính cả số 0 ở đầu). Bạn An chọn số 0347. Người quản trò quay 4 tấm bìa cứng hình tròn I, II, III, IV, mỗi tấm bìa được chia thành 10 phần có diện tích bằng nhau và đánh số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Giả sử mũi tên của bìa cứng số I, II, III và IV tương ứng dừng ở các số a, b, c, d. Khi đó số \(\overline{abcd}\) gọi là số trúng thưởng. Nếu số của người chơi trùng hoàn toàn với số trúng thưởng thì người chơi trúng giải nhất; trùng với 3 chữ số của số trúng thưởng (tính cả thứ tự) thì người chơi trúng giải nhì.

Tính xác suất bạn An trúng giải nhất, giải nhì.

Lời giải chi tiết

Không gian mẫu:

\(\Omega  = \{ \overline {abcd} ;a,b,c,d \in \{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\} \} \)

Mỗi chữ số có 10 cách chọn.

Theo quy tắc nhân ta có: \(n(\Omega ) = {10^4}\).

Gọi E là biến cố “An trúng giải nhất”.

\(E = \left\{ {0347} \right\} \Rightarrow n\left( E \right) = 1\).

\( \Rightarrow P(E) = \frac{1}{{{{10}^4}}} = 0,0001\).

Gọi F là biến cố “An trúng giải nhì”.

\(F = \{ \overline{a347};\overline{0b47};\overline{03c7};\overline{034d}\} \).

Trong đó \(a,b,c,d \in \{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\} \).

\( \Rightarrow n\left( F \right)=9.4 = 36\).

\( \Rightarrow P(F) = \frac{{36}}{{{{10}^4}}} = 0,0036\).

Vậy xác suất An trúng giải nhất là 0,0001 và xác suất An trúng giải nhì là 0,0036.

Giải bài 18 trang 73 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Khi tham gia một trò chơi bốc thăm trúng thưởng, mỗi người chơi chọn một bộ 6 số đôi một khác nhau từ 45 số: 1, 2, ..., 45, chẳng hạn bạn Bình chọn bộ số {4, 12, 20, 31, 32, 33}. Sau đó, người quản trò bốc thăm ngẫu nhiên 6 quả bóng (không hoàn lại) từ một thùng kín đựng 45 quả bóng như nhau ghi các số 1, 2, ..., 45. Bộ 6 số ghi trên 6 quả bóng đó, gọi là bộ số trúng thưởng. Nếu bộ số của người chơi trùng với 4 số của bộ số trúng thưởng thì người chơi trúng giải nhì. Tính xác suất bạn Bình trúng giải nhì khi chơi.

Lời giải chi tiết

Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các tập con có 6 phần tử của tập {1; 2; ...; 44; 45}.

\(n(\Omega ) = C_{45}^6 = 8145000\).

Gọi E là biến cố: “Bạn Bình trúng giải nhì”.

E là tập hợp tất cả các tập con gồm sáu phần tử của tập {1; 2; 3; ...; 45} có tính chất:

- Bốn phần tử của nó thuộc tập {4; 12; 20; 31; 32; 33}.

- Hai phần tử còn lại không thuộc tập {4; 12; 20; 31; 32; 33}.

Chọn 4 phần tử trong tập {4; 12; 20; 31; 32; 33}. Có \(C_6^4 = 15\) cách.

Chọn 2 phần tử còn lại trong 39 phần tử của tập {1; 2; ..., 44; 45} \ {4; 12; 20; 31; 32; 33} có \(C_{39}^2 = 741\) cách.

Tập E có 15.741 = 11 115 phần tử.

Vậy xác suất bạn Bình trúng giải nhì khi chơi là:

\(P(E) = \frac{{11115}}{{8145000}} = 0,00136\).