Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng \(a{x^2} + bx + c > 0\), \(a{x^2} + bx + c \ge 0\), \(a{x^2} + bx + c < 0\), \(a{x^2} + bx + c \le 0\) với \(a \ne 0\).

Ví dụ minh hoạ:

\( - {x^2} > 0\), \(2{x^2} + 3x - 1 \le 0\), \({x^2} + \sqrt 3 x - 2 < 0\), \(\frac{1}{2}{x^2} + 1 \ge 0\),… là các bất phương trình bậc hai một ẩn.

Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình thì ta được bất đẳng thức đúng.

Ví dụ minh hoạ:

Cho bất phương trình bậc hai một ẩn $x^{2} - 4x + 3 < 0$ (1). Trong các giá trị sau đây của $x$, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình (1)?

a) $x = 2$;

b) $x = 0$;

c) $x = 3$.

Giải:

a) Với $x = 2$, ta có: $2^{2} - 4 . 2 + 3 = -1 < 0$. Vậy $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình (1).

b) Với $x = 0$, ta có: $0^{2} - 4 . 0 + 3 = 3 > 0$. Vậy $x = 0$ không phải là nghiệm của bất phương trình (1).

c) Với $x = 3$, ta có: $3^{2} - 4 . 3 + 3 = 0$. Vậy $x = 3$ không phải là nghiệm của bất phương trình (1).