Bất phương trình logarit là bất phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu logarit.

Phương trình logarit cơ bản có một trong những dạng sau:

${\log }_{a}x>b$; ${\log }_{a}x<b$; ${\log }_{a}x\ge b$; ${\log }_{a}x\le b$ $\left(a>0,a\ne 1\right)$.

Ví dụ: ${\log }_{2}x>3$, ${\log }_{8}x\le 2$ là các bất phương trình logarit cơ bản.

Xét bất phương trình logarit ${\log }_{a}x>b$ $\left(a>0,a\ne 1\right)$.

Bất phương trình tương đương với ${\log }_{a}x>{\log }_a{a}^b$.

+ Với $a>1$, nghiệm của bất phương trình là $x>a^b$ (giữ nguyên chiều của bất phương trình).

+ Với $0<a<1$, nghiệm của bất phương trình là $0<x<a^b$ (đổi chiều của bất phương trình).

Các bất phương trình logarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

Dạng 1: Bất phương trình logarit cơ bản

Giải bất phương trình logarit cơ bản: ${\log }_{a}x>b\iff [\begin{array}{c}x>a^b\\ x<a^b\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}khi\\ khi\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}a>1\\ 0<a<1\end{array}$.

Lưu ý:

- Xác định điều kiện trước khi giải bất phương trình.

- Khi lấy cơ số cần quan tâm cơ số lớn hơn 1 hay nhỏ hơn 1 để xác định dấu của bất phương trình.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log }_{e^2}x>5$.

Ta có: ${\log }_{e^2}x>5\iff \{\begin{array}{c}x>0\\ x>{\left(e^2\right)}^5\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x>0\\ x>e^{10}\end{array}\iff x>e^{10}$.

b) ${\log }_4(x-20)<2$.

Ta có ${\log }_4(x-20)<2\iff \{\begin{array}{c}x>20\\ x-20<4^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x>20\\ x<36\end{array}\iff 20<x<36$.

c) ${\log }_2\left|x-1\right|>2$.

Ta có ${\log }_2\left|x-1\right|>2\iff \{\begin{array}{c}x-1\ne 0\\ \left|x-1\right|>2^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ne 1\\ {(x-1)}^2>4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ne 1\\ x^2-2x-2>0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ne 1\\ [\begin{array}{c}x>1+\sqrt{3}\\ x<1-\sqrt{3}\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x>1+\sqrt{3}\\ x<1-\sqrt{3}\end{array}$.

d) ${\log }_3(x^2-1{)}^2>2$.

Ta có ${\log }_3(x^2-1{)}^2>2\iff \{\begin{array}{c}{x}^2-1\ne 0\\ {(x^2-1)}^2>3^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ne \pm 1\\ x^4-2x^2-8>0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ne \pm 1\\ [\begin{array}{c}{x}^2>4\\ x^2<-2\end{array}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ne \pm 1\\ x^2>4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ne \pm 1\\ [\begin{array}{c}x>2\\ x<-2\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x>2\\ x<-2\end{array}$.

Dạng 2: Bất phương trình logarit đưa về cùng cơ số

Xét bất phương trình có dạng: ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$.

- Với a > 1: BPT tương đương $\{\begin{array}{c}f\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)>g\left(x\right)\end{array}$.

- Với 0 < a < 1: BPT tương đương $\{\begin{array}{c}f\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)<g\left(x\right)\end{array}$.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log }_9(x+7)>{\log }_3(x+1)$.

Điều kiện: $\{\begin{array}{c}x+7>0\\ x+1>0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x>-7\\ x>-1\end{array}\iff x>-1.$

Ta có ${\log }_9(x+7)>{\log }_3(x+1)$

$\iff \frac{1}{2}{\log }_3(x+7)>{\log }_3(x+1)$

$\iff {\log }_3(x+7)>{\log }_3(x+1{)}^2$

$\iff x^2+x-6<0$

$\iff -3<x<2$.

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: $-1<x<2$.

b) $2{\log }_2(x^2-x-1)<{\log }_{\sqrt{2}}(x-1)$.

Điều kiện: $\{\begin{array}{c}{x}^2-x-1>0\\ x-1>0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}[\begin{array}{c}x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\\ x>1\end{array}\iff x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

$2{\log }_2(x^2-x-1)<{\log }_{\sqrt{2}}(x-1)$

$\iff 2{\log }_2(x^2-x-1)<2{\log }_2(x-1)$

$\iff {\log }_2\left(x^2-x-1\right)<{\log }_2\left(x-1\right)$

$\iff x^2-x-1<x-1$

$\iff x^2-2x<0\iff 0<x<2$.

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};2\right)$.

Dạng 3: Bất phương trình logarit dùng mũ hoá

$\{\begin{array}{c}{\log }_{a}f\left(x\right)>g\left(x\right)\\ a>1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}f\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)>a^{g\left(x\right)}\end{array}$.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log }_2\left({2.2}^x+1\right)>2x$.

Điều kiện: ${2.2}^x+1>0$ $\forall x\in R$.

${\log }_2\left({2.2}^x+1\right)>2x$

$\iff {2.2}^x+1>2^{2x}$

$\iff -2^{2x}+2\cdot 2^x+1>0$

$\iff 1-\sqrt{2}<2^x<1+\sqrt{2}$

$\iff 0<2^x<1+\sqrt{2}$

$\iff x<{\log }_2\left(1+\sqrt{2}\right)$.

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm $S=\left(-\infty ;{\log }_2\left(1+\sqrt{2}\right)\right)$.

b) $\log (3-2x)>2^{{\log }_2\log x}$.

Điều kiện: $\{\begin{array}{c}3-2x>0\\ x>0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x<\frac{3}{2}\\ x>0\end{array}\iff 0<x<\frac{3}{2}.$

$\log (3-2x)>2^{{\log }_2\log x}$

$\iff \log (3-2x)>\log x$

$\iff 3-2x>x\iff x<1$.

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm $S=(-\infty ;1)$.

Dạng 4: Bất phương trình logarit đặt ẩn phụ cơ bản

Với a > 1, biến đổi quy về dạng:

$f\left({\log }_{a}g\left(x\right)\right)>b\Rightarrow \{\begin{array}{c}t={\log }_{a}b\\ f\left(t\right)>b\end{array}$.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log }_3^{2}x-4{\log }_{3}x+3>0$.

Điều kiện: $x>0$.

${\log }_3^{2}x-4{\log }_{3}x+3>0$

$\iff t^2-4t+3>0\iff [\begin{array}{c}t<1\\ t>3\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}{\log }_{3}x<1\\ {\log }_{3}x>3\end{array}\iff [\begin{array}{c}x<3\\ x>27\end{array}$.

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm $S=(0;3)\cup (27;+\infty )$.

b) ${\log }_{0,5}^{2}x+2{\log }_{\sqrt{2}}x<5$.

Điều kiện $x>0$.

${\log }_{\frac{1}{2}}^{2}x+2{\log }_{\sqrt{2}}x<5$

$\iff {\log }_2^{2}x+4{\log }_{2}x-5<0$.

Đặt $t={\log }_{2}x$, ta được:

$t^2+4t-5<0\iff -5<t<1$

$\iff -5<{\log }_{2}x<1\iff 2^{-5}<x<2$.

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm $S=(2^{-5};2)$.