Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa.

Phương trình mũ cơ bản có một trong những dạng sau:

$a^x>b$; $a^x<b$; $a^x\ge b$; $a^x\le b$ $\left(a>0,a\ne 1\right)$.

Ví dụ: $3^x>27$, $7^x\le 12$ là các bất phương trình mũ cơ bản.

Xét bất phương trình mũ $a^x>b$ $\left(a>0,a\ne 1\right)$.

- Nếu $b\le 0$, tập nghiệm là $R$.

- Nếu $b>0$, bất phương trình tương đương với $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

+ Với $a>1$, nghiệm của bất phương trình là $x>{\log }_{a}b$ (giữ nguyên chiều của bất phương trình).

+ Với $0<a<1$, nghiệm của bất phương trình là $x<{\log }_{a}b$ (đổi chiều của bất phương trình).

Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

Dạng 1: Bất phương trình mũ cơ bản

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) $3^x\ge 9$.

Ta có $3^x\ge 9\iff x\ge {\log }_{3}9\iff x\ge 2$.

b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x\le 4$.

Ta có: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x\le 4\iff x\le {\log }_{\frac{1}{2}}4$.

c) $2^{x+2}<\sqrt{2^3}$.

Ta có: $2^{x+2}<\sqrt{2^3}\iff 2^{x+2}<2^{\frac{3}{2}}$

$\iff x+2<\frac{3}{2}\iff x<-\frac{1}{2}$.

d) $2^x>3^{x+1}$.

Ta có: $2^x>3^{x+1}\iff 2^x>{3.3}^x$

$\iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^x>3\iff x<{\log }_{\frac{2}{3}}3$.

e) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>32$.

Ta có \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32 \

$\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-5}\iff x<-5$.

f) $3^{x^2-2x}<27$.

Ta có $3^{x^2-2x}<27\iff 3^{x^2-2x}<3^3$

$\iff x^2-2x<3\iff x^2-2x-3<0$

$\iff -1<x<3$.

Dạng 2: Bất phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Với a > 1: $a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)<g\left(x\right)$.

Với 0 < a < 1: $a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)$.

Ví dụ minh hoạ:

a) $2^{2x-1}-2^{-2}>0$.

Ta có $2^{2x-1}-2^{-2}>0\iff 2^{2x-1}>2^{-2}$

$\iff 2x-1>-2\iff x>-\frac{1}{2}$.

b) $2^{2{(x+5)}^2}\ge 4^{1-2x}$.

Ta có $2^{2{(x+5)}^2}\ge 4^{1-2x}$

$\iff 4^{{(x+5)}^2}\ge 4^{1-2x}\iff (x+5{)}^2\ge 1-2x$

$\iff x^2+12x+24\ge 0$ $\forall x\in R$.

Dạng 3: Bất phương trình mũ dùng logarit hoá

$a^{f\left(x\right)}>b^{g\left(x\right)}\iff {\log }_a{a}^{f\left(x\right)}>{\log }_a{b}^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)>g\left(x\right).{\log }_{a}b$.

Ví dụ minh hoạ:

Giải các bất phương trình sau:

a) $2^{x+1}>8^{x-1}$.

Ta có $2^{x+1}>8^{x-1}$

$\iff x+1>(x-1){\log }_{2}8$

$\iff x+1>3(x-1)$

$\iff -2x>-4\iff x<2$.

b) $3^{4^x}\le 4^{3^x}$.

Ta có $3^{4^x}\le 4^{3^x}\iff 4^x{\log }_{3}3\le 3^x{\log }_{3}4$

$\iff {\left(\frac{4}{3}\right)}^x\le {\log }_{3}4$

$\iff x\le {\log }_{\frac{4}{3}}\left({\log }_{3}4\right)$.

Dạng 3: Bất phương trình đặt ẩn phụ cơ bản

Biến đổi quy về dạng:

$f\left[a^{g\left(x\right)}\right]<b$ $\left(a>1\right)\iff \{\begin{array}{c}t=a^{g\left(x\right)}>0\\ f\left(t\right)<b\end{array}$.

Các cơ số thường gặp:

+ $4^x$ ta đặt $t=2^x$;

+ $9^x$ ta đặt $t=3^x$;

+ ${25}^x$ ta đặt $t=5^x$.

Ví dụ minh hoạ:

a) $3^{2x+1}-{4.3}^x+1>0$

$\iff {3.3}^{2x}-{4.3}^x+1>0$.

Ta có $3^{2x+1}-{4.3}^x+1>0$

$\iff {3.3}^{2x}-{4.3}^x+1>0$.

Đặt $t=3^x$ $\left(t>0\right)$, ta được:

$3t^2-4t+1>0\iff [\begin{array}{c}t>1\\ t<\frac{1}{3}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}{3}^x>1\\ 3^x<\frac{1}{3}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x>1\\ x<-1\end{array}$.

b) $9^x-{5.3}^x+6<0$.

Ta có $9^x-{5.3}^x+6<0$

$\iff {\left(3^2\right)}^x-{5.3}^x+6<0$

$\iff {\left(3^x\right)}^2-{5.3}^x+6<0$ (*)

Đặt $t=3^x$ $\left(t>0\right)$, ta được: $t^2-5t+6<0$

$\iff 2<t<3\iff {\log }_{3}2<x<1$.