Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý. Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố: A và $\overline{B}$; $\overline{A}$ và $B$; $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

Cách 1: Dựa vào định nghĩa hai biến cố độc lập: Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Cách 2: Nếu $P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$ thì hai biến cố A và B độc lập. Nếu $P\left(AB\right)\ne P\left(A\right).P\left(B\right)$ thì hai biến cố A và B không độc lập.

Ví dụ minh hoạ:

1) Trong hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng, xem màu rồi trả lại hộp. Lặp lại phép thử trên 2 lần và gọi $A_k$ là biến cố quả bóng lấy ra lần thứ k là bóng xanh (k = 1, 2).

a) $A_1$, $A_2$ có là các biến cố độc lập không? Tại sao?

b) Nếu trong mỗi phép thử trên ta không trả bóng lại hộp thì $A_1$, $A_2$ có là các biến cố độc lập không? Tại sao?

Giải:

a) Nếu $A_1$ xảy ra thì sau khi trả lại quả bóng thứ nhất vào hộp, trong hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ và 1 quả bóng vàng, do đó xác suất xảy ra $A_2$ là $\frac{1}{3}$.

Ngược lại, nếu $A_1$ không xảy ra thì sau khi trả lại quả bóng thứ nhất vào hộp, trong hộp vẫn có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ và 1 quả bóng vàng, do đó xác suất xảy ra $A_2$ là $\frac{1}{3}$.

Ta thấy khi $A_1$ xảy ra hay không xảy ra thì xác suất của biến cố $A_2$ luôn bằng $\frac{1}{3}$. Do quả bóng lấy ra lần thứ nhất được trả lại hộp nên biến cố $A_2$ xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của $A_1$. Vậy $A_1$ và $A_2$ là hai biến cố độc lập.

b) Giả sử quả bóng lấy ra lần đầu tiên không được trả lại hộp.

Nếu $A_1$ xảy ra thì trước khi bốc quả bóng thứ hai, trong hộp có 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng. Do đó xác suất xảy ra $A_2$ là 0.

Ngược lại, nếu $A_1$ không xảy ra thì trước khi bốc quả bóng thứ hai, trong hộp có 2 quả bóng, trong đó có đúng 1 quả bóng xanh. Do đó xác suất xảy ra $A_2$ là $\frac{1}{2}$.

Ta thấy xác suất xảy ra của biến cố $A_2$ phụ thuộc vào sự xảy ra của $A_1$. Vậy $A_1$ và $A_2$ không là hai biến cố độc lập.

2) Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh, có cùng kích thước và khối lượng.

a) Bạn Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi, ghi lại màu của viên bi được lấy ra rồi trả lại viên bi vào hộp. Tiếp theo, bạn Hùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Xét hai biến cố sau:

A: “Minh lấy được viên bi màu đỏ”;

B: “Hùng lấy được viên bi màu xanh”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.

b) Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi và không trả lại vào hộp. Tiếp theo, bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Xét hai biến cố sau:

C: “Sơn lấy được viên bi màu đỏ”;

D: “Tùng lấy được viên bi màu xanh”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố C và D không độc lập.

Giải:

a) Nếu A xảy ra, tức là Minh lấy được viên bi màu đỏ. Vì Minh trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên trong hộp có 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Vậy $P\left(B\right)=\frac{5}{9}$.

Nếu A không xảy ra, tức là Minh lấy được viên bi màu xanh. Vì Minh trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên trong hộp vẫn có 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Vậy $P\left(B\right)=\frac{5}{9}$.

Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố B không thay đổi bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A.

Vì Hùng lấy sau Minh nên $P\left(A\right)=\frac{4}{9}$ dù biến cố B xảy ra hay không xảy ra.

Vậy A và B độc lập.

b) Nếu C xảy ra, tức là Sơn lấy được viên bi màu đỏ. Vì Sơn không trả lại viên bi đó vào hộp nên trong hộp có 8 viên bi với 3 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Vậy $P\left(D\right)=\frac{5}{8}$.

Nếu C không xảy ra, tức là Sơn lấy được viên bi màu xanh. Vì Sơn không trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên trong hộp có 4 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu xanh. Vậy $P\left(D\right)=\frac{4}{8}$.

Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố D đã thay đổi phụ thuộc vào việc biến cố C xảy ra hay không xảy ra. Do đó, hai biến cố C và D không độc lập.