Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

+ BC = a, CA = b, AB = c;

+ $p=\frac{a+b+c}{2}$ (nửa chu vi);

+ R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

+ r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

+ $h_a,h_b,h_c$ là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

1) $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$;

2) $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Heron);

3) $S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c$;

4) $S=\frac{abc}{4R}$;

5) $S=pr$.

1) Cho tam giác ABC có $a=2\sqrt{3}$, $b=2$ và $\hat{C}={30}^o$.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải:

a) Áp dụng công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$, ta có:

$S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\cdot \sin {30}^o=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}\approx 1,7.$

b) Áp dụng định lí côsin, ta có: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=12+4-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4.$

Suy ra c = 2.

Áp dụng định lí sin, ta có: $R=\frac{c}{2\cdot \sin C}=\frac{2}{2\cdot \sin {30}^o}=\frac{2}{2\cdot \frac{1}{2}}=2.$

2) Cho tam giác ABC có các cạnh a = 30, b = 26, c = 28.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải:

a) Ta có $p=\frac{1}{2}\cdot (30+26+28)=42$.

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{42(42-30)(42-26)(42-28)}=336.$

b) Ta có $S=\frac{abc}{4R}$, suy ra $R=\frac{abc}{4S}=\frac{30\cdot 26\cdot 28}{4\cdot 336}=16,25$.

Ta lại có $S=pr$, suy ra $r=\frac{S}{p}=\frac{336}{42}=8$.