Ta thực hiện các bước sau:

B1: Biến đổi các biểu thức logarit phụ thuộc vào tham số a và b.

B2: Đặt các biểu thức logarit của các số nguyên tố là các ẩn x, y, z. Từ đó ta thu được phương trình hoặc hệ phương trình với các ẩn x, y, z. Ta tìm các ẩn này theo a, b.

B3: Giải hệ tìm được x, y, z,… theo a, b. Từ đó tính được biểu thức theo các tham số a, b.

1) Cho $a={\log }_{2}14$. Biểu diễn ${\log }_{49}16$ theo a.

Giải:

${\log }_{49}16={\log }_{7^2}{2}^4=2{\log }_{7}2=\frac{2}{{\log }_{2}7}=\frac{2}{{\log }_2\frac{14}{2}}=\frac{2}{{\log }_{2}14-{\log }_{2}2}=\frac{2}{a-1}$.

2) Tính $M={\log }_{4}1250$ theo a biết $a={\log }_{2}5$.

Giải:

$M={\log }_{4}1250=\frac{1}{2}{\log }_2\left(5^4.2\right)=\frac{1}{2}(4{\log }_{2}5+1)=\frac{1}{2}+2a$.

3) Đặt $a={\log }_{2}3$ và $b={\log }_{5}3$. Hãy biểu diễn ${\log }_{6}25$ theo a và b.

Giải:

${\log }_{6}45=\frac{{\log }_3\left({5.3}^2\right)}{{\log }_3\left(2.3\right)}=\frac{{\log }_{3}5+2}{{\log }_{3}2+{\log }_{3}3}=\frac{\frac{1}{b}+2}{\frac{1}{a}+1}=\frac{a+2ab}{ab+b}$.

4) Cho ${\log }_{3}2=a$ và ${\log }_{3}5=b$. Tính ${\log }_{10}60$ theo $a$ và $b$.

Giải:

${\log }_{10}60=\frac{{\log }_{3}60}{{\log }_{3}10}=\frac{{\log }_3(4\cdot 3\cdot 5)}{{\log }_3(2\cdot 5)}=\frac{2{\log }_{3}2+{\log }_{3}5+1}{{\log }_{3}2+{\log }_{3}5}=\frac{2a+b+1}{a+b}$.

5) Cho $a={\log }_{5}18$ và $b={\log }_{5}60$. Tính ${\log }_{3}2$ theo $a$ và $b$.

Giải:

Dầu tiên ta có hệ $\{\begin{array}{c}a={\log }_{5}18={\log }_{5}2+2{\log }_{5}3\\ b={\log }_{5}60=2{\log }_{5}2+{\log }_{5}3+1\end{array}$

Đặt $x={\log }_{5}2$ và $y={\log }_{5}3$ từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

$\{\begin{array}{c}x+2y=a\\ 2x+y=b-1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x={\log }_{5}2=\frac{-a+2b-2}{3}\\ y={\log }_{5}3=\frac{2a-b+1}{3}\end{array}$

Nên ${\log }_{3}2=\frac{{\log }_{5}2}{{\log }_{5}3}=\frac{-a+2b-2}{2a-b+1}$.