Cách chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong hình học không gian - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Từ điển môn..

Cách chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong hình học không gian - Toán 11

Cách chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong hình học không gian

Nội dung chính

1. Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong hình học không gian

2. Ví dụ minh hoạ về chứng minh ba ba đường thẳng đồng quy trong hình học không gian

1. Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong hình học không gian

Ta tìm giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho, rồi chứng minh giao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ ba. Cụ thể:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b. Gọi I là giao điểm của a và b.

Bước 2: Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a, tìm một mặt phẳng (R) chứa đường thẳng b, sao cho c là giao tuyến của (P) và (Q), suy ra I thuộc (C).

Vậy, ba đường thẳng a, b, c đồng quy tại I.

2. Ví dụ minh hoạ về chứng minh ba ba đường thẳng đồng quy trong hình học không gian

1) Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Chứng minh rằng MP, NQ và BD đồng quy tại I.

Giải:

Ta có $(A B D) \cap (B C D) = B D$ .

Lại có $I \in M P \subset (A B D)$ và $I \in N Q \subset (B C D)$ nên I là điểm chung của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD). Nói cách khác, I thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

Do đó, $I \in B D$ hay ba đường thẳng MP, NQ và BD đồng quy tại I.

2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Gọi $E = A B \cap C D$ , $K = A D \cap B C$ .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(S A C) \cap (S B D)$ , $(M N P) \cap (S B D)$ .

b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).

c) Gọi $H = N M \cap P Q$ . Chứng minh ba điểm S, H, E thẳng hàng.

d) Chứng minh ba đường thẳng SK, QM, NP đồng quy.

Giải:

a) Trong mặt phẳng ABCD gọi $O = A C \cap B D$ , có:

${\begin{matrix} O \in A C, A C \subset (S A C) O \in B D, B D \subset (S B D) \end{matrix} \Rightarrow O \in (S A C) \cap (S B D)$ (1)

$S \in (S A C) \cap (S B D)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $(S A C) \cap (S B D) = S O$ .

Trong mặt phẳng (SAC) gọi $F = M P \cap S O$ , có:

${\begin{matrix} F \in M P, M P \subset (M N P) F \in S O, S O \subset (S B D) \end{matrix} \Rightarrow F \in (M N P) \cap (S B D)$ (3)

${\begin{matrix} N \in (M N P) N \in S B, S B \subset (S B D) \end{matrix} \Rightarrow N \in (M N P) \cap (S B D)$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $(M N P) \cap (S B D) = N F$ .

b) Gọi $Q = N F \cap S D$ (vì $N F, S D \subset (S B D)$ ).

Ta có ${\begin{matrix} Q \in S D Q \in N F, N F \subset (M N P) \end{matrix} \Rightarrow Q = S D \cap (M N P)$ .

c) Ta có $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} H = M N \cap P Q, M N \subset (S A B), P Q \subset (S C D) \Rightarrow H \in (S A B) \cap (S C D) & (*) E = A B \cap C D, A B \subset (S A B), C D \subset (S C D) \Rightarrow E \in (S A B) \cap (S C D) & (* *) S \in (S A B) \cap (S C D) & (* * *) \end{matrix}$

Từ (*), (**), (**) suy ra ba điểm S, H, E thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) nên ba điểm S, H, E thẳng hàng.

d) Gọi $G = M Q \cap N P$ (vì $M Q, N P \subset (M N P))$ (5)

${\begin{matrix} G \in M Q, M Q \subset (S A D) G \in N P, N P \subset (S B C) \end{matrix} \Rightarrow G \in (S A D) \cap (S B C)$ (6)

Ngoài ra $(S A D) \cap (S B C) = S K \Rightarrow G \in S K$ (7)

Từ (5), (6), (7) suy ra ba đường thẳng SK, QM, NP đồng quy.