Cách chứng minh bất đẳng thức - Toán 9
Bất đẳng thức và tính chất - Từ điển môn Toán 9 Cách chứng minh bất đẳng thức - Toán 9
Cách chứng minh bất đẳng thức
1. Khái niệm bất đẳng thức
2. Cách chứng minh bất đẳng thức
3. Tính chất bắc cầu
4. Tính chất của đẳng thức liên quan đến phép cộng
5. Tính chất của bất đẳng thức liên quan đến phép nhân
6. Bài tập vận dụng
1. Khái niệm bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức dạng \(a > b\) (hay \(a < b\), \(a \ge b\), \(a \le b\)) là bất đẳng thức.
Trong đó a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.
2. Cách chứng minh bất đẳng thức
- Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức:
+ Tính chất bắc cầu
+ Tính chất của đẳng thức liên quan đến phép cộng
+ Tính chất của bất đẳng thức liên quan đến phép nhân
- Để chứng minh \(A > B\), ta có thể chứng minh \(A - B > 0\)
3. Tính chất bắc cầu
Nếu \(a < b\) và \(b < c\) thì \(a < c\).
Nếu \(a > b\) và \(b > c\) thì \(a > c\).
Nếu \(a \le b\) và \(b \le c\) thì \(a \le c\).
Nếu \(a \ge b\) và \(b \ge c\) thì \(a \ge c\).
4. Tính chất của đẳng thức liên quan đến phép cộng
Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Nếu \(a < b\) thì \(a + c < b + c\).
Nếu \(a > b\) thì \(a + c > b + c\).
Nếu \(a \le b\) thì \(a + c \le b + c\).
Nếu \(a \ge b\) thì \(a + c \ge b + c\).
5. Tính chất của bất đẳng thức liên quan đến phép nhân
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với ba số a, b, c và c > 0, ta có:
Nếu \(a < b\) thì \(ac < bc\).
Nếu \(a > b\) thì \(ac > bc\).
Nếu \(a \le b\) thì \(ac \le bc\).
Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \ge bc\).
- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với ba số a, b, c và c < 0, ta có:
Nếu \(a < b\) thì \(ac > bc\).
Nếu \(a > b\) thì \(ac < bc\).
Nếu \(a \le b\) thì \(ac \ge bc\).
Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \le bc\).
6. Bài tập vận dụng
Cho \(a > 1 > b\), chọn khẳng định không đúng.
Gợi ý