$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\iff \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$.

1) Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau và $|\vec{a}|=1;|\vec{b}|=\sqrt{2}$. Chứng minh hai vectơ $2\vec{a}-\vec{b}$ và $\vec{a}+\vec{b}$ vuông góc với nhau.

Giải:

Do vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau $\iff \vec{a}.\vec{b}=0$

Ta có: $(2\vec{a}-\vec{b}).(\vec{a}+\vec{b})=2{\vec{a}}^2+2\vec{a}.\vec{b}-\vec{a}.\vec{b}-{\vec{b}}^2$

$=2{\vec{a}}^2+\vec{a}.\vec{b}-{\vec{b}}^2=2|\vec{a}{|}^2+\vec{a}.\vec{b}-|\vec{b}{|}^2$

$={2.1}^2+0-(\sqrt{2}{)}^2=2-2=0$.

Vậy $2\vec{a}-\vec{b}$ và $\vec{a}+\vec{b}$ vuông góc với nhau.

2) Cho hai vecto $\vec{a}(1;2)$ và $\vec{b}(-1;m)$. Tìm m để hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau.

Giải:

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$\vec{a}.\vec{b}=0\iff 1.(-1)+2m=0\iff m=\frac{1}{2}.$ Vậy $m=\frac{1}{2}$.

3) Cho ba điểm A(-1; 2); B(m - 1; 3) và C(2; 1). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

Giải:

Tam giác ABC vuông tại B thì AB phải vuông góc với BC tại B hay $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(m;1)$ và $\overrightarrow{BC}=(3-m;-2)$.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\iff m(3-m)-2.1=0\iff m=1$ hoặc $m=2.$

Vậy m = 1 hoặc m = 2.