\(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \).

1) Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) vuông góc với nhau và \(|\vec a| = 1;|\vec b| = \sqrt 2 \). Chứng minh hai vectơ \(2\vec a - \vec b\) và \(\vec a + \vec b\) vuông góc với nhau.

Giải:

Do vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) vuông góc với nhau \( \Leftrightarrow \vec a.\vec b = 0\)

Ta có: \((2\vec a - \vec b).(\vec a + \vec b) = 2{\vec a^2} + 2\vec a.\vec b - \vec a.\vec b - {\vec b^2}\)

\( = 2{\vec a^2} + \vec a.\vec b - {\vec b^2} = 2|\vec a{|^2} + \vec a.\vec b - |\vec b{|^2}\)

\( = {2.1^2} + 0 - {(\sqrt 2 )^2} = 2 - 2 = 0\).

Vậy \(2\vec a - \vec b\) và \(\vec a + \vec b\) vuông góc với nhau.

2) Cho hai vecto \(\vec a(1;2)\) và \(\vec b( - 1;m)\). Tìm m để hai vecto \(\vec a\) và \(\vec b\) vuông góc với nhau.

Giải:

Hai vecto trên vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

\(\vec a.\vec b = 0 \Leftrightarrow 1.( - 1) + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\) Vậy \(m = \frac{1}{2}\).

3) Cho ba điểm A(-1; 2); B(m - 1; 3) và C(2; 1). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

Giải:

Tam giác ABC vuông tại B thì AB phải vuông góc với BC tại B hay \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (m;1)\) và \(\overrightarrow {BC}  = (3 - m; - 2)\).

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow m(3 - m) - 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) hoặc \(m = 2.\)

Vậy m = 1 hoặc m = 2.